Ενδιαφέρουσα εξηντάρα !!!
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Ενδιαφέρουσα εξηντάρα !!!
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο και σημείο της ώστε , όπου το μέσο της . Αν όπου το συμμετρικό ως προς την του μέσου της , να δείξετε ότι
Υ.Σ. Παρακαλώ ολοκληρωμένες λύσεις και με σχήμα
Υ.Σ. Παρακαλώ ολοκληρωμένες λύσεις και με σχήμα
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ενδιαφέρουσα εξηντάρα !!!
Δε φέρνω ( προσωρινά) τηνΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Σάβ Οκτ 29, 2022 10:43 pmΕνδιαφέρουσα εξηντάρα.png
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο και σημείο της ώστε , όπου το μέσο της . Αν όπου το συμμετρικό ως προς την του μέσου της , να δείξετε ότι
Υ.Σ. Παρακαλώ ολοκληρωμένες λύσεις και με σχήμα
Ας είναι το σημείο τομής της με την . Προφανώς .
Φέρνω από το παράλληλη στην και τέμνει την ευθεία στο . Το τρίγωνο , έτσι αν η τέμνει τη στο θα είναι : ( κεντρικής δέσμης το ανάγνωσμα γάρ )
Τώρα το είναι ισόπλευρο και άρα τα σημεία ανήκουν στην ίδια ευθεία.
( τα υπόλοιπα που φαίνονται στο σχήμα είναι μεν προφανή αλλά ελάχιστα θα τα επικαλεστώ)
Επί της ουσίας έχει δειχθεί ότι οι ευθείες συγκλίνουν σε σημείο για το οποίο, το είναι ισόπλευρο και . Γράφω τώρα τον περιγεγραμμένο κύκλο (κόκκινο) του ισοπλεύρου και ας είναι το άλλο σημείο τομής του , με την .
Προφανώς .
Επειδή διαδοχικά: , το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο ( γράφω κι αυτόν τον κύκλο (μπλέ))
Τώρα στον κύκλο αυτό κι’ αφού το είναι ισόπλευρο , οπότε λόγω της , .
Δηλαδή τα σημεία ανήκουν στην ίδια ευθεία και το .
Re: Ενδιαφέρουσα εξηντάρα !!!
Με προλάβατε, το μόνο που έχω να προσθέσω είναι ένα διαφορετικό τελείωμα,
ειδικότερα συνεχίζω από εδώ:
ειδικότερα συνεχίζω από εδώ:
Αν εν τέλει φέρουμε και την και , τότε έχουμε προφανώς τα τρίγωνα και είναι ίσα, άρα εγγράψιμο καθώς και άραDoloros έγραψε: ↑Κυρ Οκτ 30, 2022 12:49 amΔε φέρνω ( προσωρινά) τηνΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Σάβ Οκτ 29, 2022 10:43 pmΕνδιαφέρουσα εξηντάρα.png
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο και σημείο της ώστε , όπου το μέσο της . Αν όπου το συμμετρικό ως προς την του μέσου της , να δείξετε ότι
Υ.Σ. Παρακαλώ ολοκληρωμένες λύσεις και με σχήμα
Ας είναι το σημείο τομής της με την . Προφανώς .
Φέρνω από το παράλληλη στην και τέμνει την ευθεία στο .
Ενδιαφέρουσα εξηντάρα_new_a.png
Το τρίγωνο , έτσι αν η τέμνει τη στο θα είναι : ( κεντρικής δέσμης το ανάγνωσμα γάρ )
Τώρα το είναι ισόπλευρο και άρα τα σημεία ανήκουν στην ίδια ευθεία.
( τα υπόλοιπα που φαίνονται στο σχήμα είναι μεν προφανή αλλά ελάχιστα θα τα επικαλεστώ)
Επί της ουσίας έχει δειχθεί ότι οι ευθείες συγκλίνουν σε σημείο για το οποίο, το είναι ισόπλευρο και .
Ενδιαφέρουσα εξηντάρα_new_b.png
Αρμενιάκος Σωτήρης
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ενδιαφέρουσα εξηντάρα !!!
Συνεχίζω από εκεί που ο φίλτατος Νίκος απέδειξε ότι το είναι ισόπλευρο. Εξωτερικά του τριγώνου έχουν κατασκευαστεί τα ισόπλευρα τρίγωνα άρα οι τέμνονται στο σημείο υπό γωνίαΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Σάβ Οκτ 29, 2022 10:43 pmΕνδιαφέρουσα εξηντάρα.png
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο και σημείο της ώστε , όπου το μέσο της . Αν όπου το συμμετρικό ως προς την του μέσου της , να δείξετε ότι
Υ.Σ. Παρακαλώ ολοκληρωμένες λύσεις και με σχήμα
Re: Ενδιαφέρουσα εξηντάρα !!!
george visvikis έγραψε: ↑Κυρ Οκτ 30, 2022 10:32 amΣυνεχίζω από εκεί που ο φίλτατος Νίκος απέδειξε ότι το είναι ισόπλευρο. 60αρα!!!.pngΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Σάβ Οκτ 29, 2022 10:43 pmΕνδιαφέρουσα εξηντάρα.png
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο και σημείο της ώστε , όπου το μέσο της . Αν όπου το συμμετρικό ως προς την του μέσου της , να δείξετε ότι
Υ.Σ. Παρακαλώ ολοκληρωμένες λύσεις και με σχήμα
Εξωτερικά του τριγώνου έχουν κατασκευαστεί τα ισόπλευρα τρίγωνα άρα οι τέμνονται στο σημείο υπό γωνία
"Της νύκτας τα καμώματα τα βλέπει η μέρα και γελά"
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ενδιαφέρουσα εξηντάρα !!!
Έστω ότι οι ευθείες , τέμνουν τη στα σημεία , αντίστοιχα.
Ας είναι επίσης το σημείο τομής των και , το σημείο τομής της με την ,
το σημείο τομής της με την , το σημείο τομής των ευθειών και , και
το σημείο τομής των ευθειών και .
Αρχικά, θα αποδείξουμε ότι .
Οι ευθείες , είναι συμμετρικές ως προς το ύψος , οπότε η διχοτόμος της γωνίας και .
Από γνωστό λήμμα η δέσμη είναι αρμονική η τετράδα είναι αρμονική .
Από την άλλη πλευρά, γνωρίζουμε ότι κάθε διαγώνιος ενός πλήρους τετραπλεύρου διαιρείται αρμονικά από τις άλλες δύο διαγωνίους.
Ως εκ τούτου, από το πλήρες τετράπλευρο προκύπτει ότι η τετράδα είναι αρμονική η δέσμη είναι αρμονική, οπότε οι ακτίνες αυτής της δέσμης ορίζουν στην ευθεία την αρμονική τετράδα .
Από και έχουμε ότι .
Εφόσον (η άξονας συμμετρίας της , και ). Το τρίγωνο είναι προφανώς
ισόπλευρο, και επειδή το τρίγωνο ορθογώνιο στο .
Έστω , , .
Έχουμε παραπάνω αποδείξει ότι η τετράδα είναι αρμονική, οπότε οι ακτίνες της αρμονικής δέσμης
ορίζουν στην ευθεία την αρμονική τετράδα .
Στο πλήρες τετράπλευρο διαγώνιος διαιρείται αρμονικά από τις δύο άλλες διαγώνιες, δηλαδή,
η τετράδα είναι αρμονική.
Από και έχουμε ότι .
Ως εκ τούτου, η τετράδα είναι αρμονική δέσμη είναι αρμονική, και
εφόσον , τότε η διχοτόμος της γωνίας , δηλαδή, .
Από την ισότητα των τριγώνων και ( κοινή, και )
προκύπτει ότι , δηλαδή το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, οπότε .
Ας είναι επίσης το σημείο τομής των και , το σημείο τομής της με την ,
το σημείο τομής της με την , το σημείο τομής των ευθειών και , και
το σημείο τομής των ευθειών και .
Αρχικά, θα αποδείξουμε ότι .
Οι ευθείες , είναι συμμετρικές ως προς το ύψος , οπότε η διχοτόμος της γωνίας και .
Από γνωστό λήμμα η δέσμη είναι αρμονική η τετράδα είναι αρμονική .
Από την άλλη πλευρά, γνωρίζουμε ότι κάθε διαγώνιος ενός πλήρους τετραπλεύρου διαιρείται αρμονικά από τις άλλες δύο διαγωνίους.
Ως εκ τούτου, από το πλήρες τετράπλευρο προκύπτει ότι η τετράδα είναι αρμονική η δέσμη είναι αρμονική, οπότε οι ακτίνες αυτής της δέσμης ορίζουν στην ευθεία την αρμονική τετράδα .
Από και έχουμε ότι .
Εφόσον (η άξονας συμμετρίας της , και ). Το τρίγωνο είναι προφανώς
ισόπλευρο, και επειδή το τρίγωνο ορθογώνιο στο .
Έστω , , .
Έχουμε παραπάνω αποδείξει ότι η τετράδα είναι αρμονική, οπότε οι ακτίνες της αρμονικής δέσμης
ορίζουν στην ευθεία την αρμονική τετράδα .
Στο πλήρες τετράπλευρο διαγώνιος διαιρείται αρμονικά από τις δύο άλλες διαγώνιες, δηλαδή,
η τετράδα είναι αρμονική.
Από και έχουμε ότι .
Ως εκ τούτου, η τετράδα είναι αρμονική δέσμη είναι αρμονική, και
εφόσον , τότε η διχοτόμος της γωνίας , δηλαδή, .
Από την ισότητα των τριγώνων και ( κοινή, και )
προκύπτει ότι , δηλαδή το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, οπότε .
τελευταία επεξεργασία από giannimani σε Κυρ Οκτ 30, 2022 11:02 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Ενδιαφέρουσα εξηντάρα !!!
Από τη συμμετρία του ως προς την που είναι άξονας συμμετρίας του ισοσκελούς τριγώνου προκύπτει ότι είναι το συμμετρικό του ως προς την και συνεπώς (λόγω συμμετρίας) θα είναι και και με από συμμετρία προκύπτει ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και με τα μέσα των πλευρών του ομοκυκλικά με (προφανώς το κέντρο του ισοπλεύρου τριγώνου )ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Σάβ Οκτ 29, 2022 10:43 pmΕνδιαφέρουσα εξηντάρα.png
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο και σημείο της ώστε , όπου το μέσο της . Αν όπου το συμμετρικό ως προς την του μέσου της , να δείξετε ότι
Υ.Σ. Παρακαλώ ολοκληρωμένες λύσεις και με σχήμα
Αν τότε από το Θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο με διατέμνουσα την Από τη σχέση προκύπτει ότι η σημειοσειρά είναι αρμονική , άρα και η δέσμη είναι αρμονική και με διχοτόμος της γωνίας όμως (συμμετρικές ως προς την
Από ομοκυκλικά .
Από τις ομοκυκλικές τετράδες και με τρία κοινά σημεία προκύπτει ότι τα είναι ομοκυκλικά και συνεπώς και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Ενδιαφέρουσα εξηντάρα !!!
Καλό βράδυ σε όλους!
Τη λύση που ακολουθεί , την έχω στο χαρτί από χθες βράδυ..
Παρόλο που έχει κοινά συμπεράσματα με προηγούμενες (κυρίως του Στάθη) ,
την υποβάλλω για τις διαφορές που υπάρχουν και βασικά για την απόδειξη (*) του λήμματος:
Σε τρίγωνο με , το είναι το μέσον της και το ώστε
Ακόμη το ώστε , ενώ είναι το μέσον της . Να δειχθεί ότι η είναι διχοτόμος της Με η είναι η μεσοκάθετος των και οπότε το είναι ισόπλευρο (αφού )
και τα μέσα των είναι συμμετρικά ως προς την .
Αν το κέντρο του , τότε το είναι εγγράψιμο σε κύκλο , ο οποίος τέμνει την στο .
Μένει να δείξουμε ότι τα είναι συνευθειακά.
Αρκεί που ισχύει αφού από το λήμμα ,άρα
(*) Το ως άνω λήμμα το δείχνει ο θεματοθέτης Στάθης , ευτυχώς .. .. με διαφορετικό τρόπο.
Ας ..ποντάρω λοιπόν πως και οι τυχόν νέες αποδείξεις του λήμματος που θα υποβληθούν στο μεταξύ θα διαφέρουν από δική μου..
συνεπώς οφείλω να την υποβάλω σε επόμενη ανάρτηση !
Φιλικά, Γιώργος
Τη λύση που ακολουθεί , την έχω στο χαρτί από χθες βράδυ..
Παρόλο που έχει κοινά συμπεράσματα με προηγούμενες (κυρίως του Στάθη) ,
την υποβάλλω για τις διαφορές που υπάρχουν και βασικά για την απόδειξη (*) του λήμματος:
Σε τρίγωνο με , το είναι το μέσον της και το ώστε
Ακόμη το ώστε , ενώ είναι το μέσον της . Να δειχθεί ότι η είναι διχοτόμος της Με η είναι η μεσοκάθετος των και οπότε το είναι ισόπλευρο (αφού )
και τα μέσα των είναι συμμετρικά ως προς την .
Αν το κέντρο του , τότε το είναι εγγράψιμο σε κύκλο , ο οποίος τέμνει την στο .
Μένει να δείξουμε ότι τα είναι συνευθειακά.
Αρκεί που ισχύει αφού από το λήμμα ,άρα
(*) Το ως άνω λήμμα το δείχνει ο θεματοθέτης Στάθης , ευτυχώς .. .. με διαφορετικό τρόπο.
Ας ..ποντάρω λοιπόν πως και οι τυχόν νέες αποδείξεις του λήμματος που θα υποβληθούν στο μεταξύ θα διαφέρουν από δική μου..
συνεπώς οφείλω να την υποβάλω σε επόμενη ανάρτηση !
Φιλικά, Γιώργος
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Ενδιαφέρουσα εξηντάρα !!!
Χαιρετώ και πάλι! Ας δούμε μια απόδειξη του λήμματος:
και μετά στο τρίγωνο με διατέμνουσα παίρνουμε
Αν οι διχοτόμοι των και τότε , ενώ στο ισόπλευρο είναι .
Έστω τότε και . Έτσι με τα Θ. Θαλή και διχοτόμου έχουμε:
, ΑΤΟΠΟ.
Ομοίως αποκλείουμε , συνεπώς και διχοτόμος της.
Φιλικά, Γιώργος.
Η τέμνει την στο . Με το Θ. Μενελάου , πρώτα στο τρίγωνο και διατέμνουσα προκύπτειΓιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Κυρ Οκτ 30, 2022 10:27 pm
Σε τρίγωνο με , το είναι το μέσον της και το ώστε
Ακόμη το ώστε , ενώ είναι το μέσον της . Να δειχθεί ότι η είναι διχοτόμος της
και μετά στο τρίγωνο με διατέμνουσα παίρνουμε
Αν οι διχοτόμοι των και τότε , ενώ στο ισόπλευρο είναι .
Έστω τότε και . Έτσι με τα Θ. Θαλή και διχοτόμου έχουμε:
, ΑΤΟΠΟ.
Ομοίως αποκλείουμε , συνεπώς και διχοτόμος της.
Φιλικά, Γιώργος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες