Συνευθειακότητα από πολικές

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

συνευθειακότητα από πολικές.png (33.67 KiB) Προβλήθηκε 371 φορές

Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και ας είναι τα σημεία επαφής του έγκυκλού του με τις πλευρές του αντίστοιχα.

Αν είναι το σημείο τομής των πολικών ευθειών των ως προς τον αντίστοιχα, να δειχθεί ότι η ευθεία διέρχεται από το , όπου το σημείο τομής των εφαπτομένων ευθειών του στα σημεία


Υ.Σ. Η πρόταση δεν είναι δικής μου κατασκευής. Θα δώσω μετά τη λύση της την πηγή του προβλήματος

[Ορέστης Λιγνός]

συνευθειακότητα από πολικές.png

Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και ας είναι τα σημεία επαφής του έγκυκλού του με τις πλευρές του αντίστοιχα.

Αν είναι το σημείο τομής των πολικών ευθειών των ως προς τον αντίστοιχα, να δειχθεί ότι η ευθεία διέρχεται από το , όπου το σημείο τομής των εφαπτομένων ευθειών του στα σημεία


Υ.Σ. Η πρόταση δεν είναι δικής μου κατασκευής. Θα δώσω μετά τη λύση της την πηγή του προβλήματος

Γράφουμε αντί για , αντί για και αντί για . Έστω ότι η τέμνει την στο . Όλες οι πολικές πιο κάτω αναφέρονται στον κύκλο .

Το ανήκει στις πολικές ευθείες των και , άρα από το θεώρημα La Hire, η πολική του είναι η . Είναι , οπότε το ανήκει στην πολική του , οπότε από το θεώρημα La Hire, το ανήκει στην πολική του (1).

Επίσης, η είναι η πολική του , και , οπότε όμοια με πριν από το θεώρημα La Hire, και το ανήκει στην πολική του
(2).

Ακόμη, από το πλήρες τετράπλευρο , προκύπτει ότι , και άρα και το ανήκει στην πολική του (3).

Από τις (1), (2) και (3) προκύπτει ότι η πολική του σημείου είναι η ευθεία των σημείων και , άρα τα σημεία αυτά είναι συνευθειακά, όπως θέλαμε να δείξουμε.