mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 16, 2022 6:37 am**

Σας προτείνω το θέμα Ο590 από το τρίτο τεύχος των Mathematical Reflections του 2022. Η ημερομηνία υποβολής των λύσεων παρήλθε, έτσι μπορώ άνετα να σας το προτείνω. Εμπνευστής του θέματος ο Todor Zaharinov από τη Σόφια.

Έστω σκαληνό τρίγωνο ABC

και έστω

το βαρύκεντρό του και

το σημείο Lemoine του.
Αποδείξτε ότι αν $B\hat{A}G=A\hat{B}L$ τότε η

είναι παράλληλη της BC.

Aν ένα παιδί, με αφορμή το θέμα αυτό, μάθει τι είναι το σημείο Lemoine, κέρδος είναι...

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 16, 2022 10:41 am**

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 16, 2022 6:37 am
Σας προτείνω το θέμα Ο590 από το τρίτο τεύχος των Mathematical Reflections του 2022. Η ημερομηνία υποβολής των λύσεων παρήλθε, έτσι μπορώ άνετα να σας το προτείνω. Εμπνευστής του θέματος ο Todor Zaharinov από τη Σόφια.

Έστω σκαληνό τρίγωνο και έστω το βαρύκεντρό του και το σημείο Lemoine του.
Αποδείξτε ότι αν $B\hat{A}G=A\hat{B}L$ τότε η είναι παράλληλη της

Aν ένα παιδί, με αφορμή το θέμα αυτό, μάθει τι είναι το σημείο Lemoine, κέρδος είναι...

: Ο 590 2022.png (15.07 KiB) Προβλήθηκε 464 φορές

Έστω

το μέσο της

και

η

συμμετροδιάμεσος. Είναι, $\displaystyle B\widehat AG = A\widehat BL = G\widehat BC,$ άρα ο περίκυκλος του ABG

εφάπτεται της BC,

οπότε $\displaystyle M{B^2} = MG \cdot MA \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{{m_a}}}{3} \cdot {m_a} \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{{12}} \Leftrightarrow \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2}}} = 2 \Leftrightarrow$

$\displaystyle \frac{{AL}}{{LD}} = \frac{{AG}}{{GM}} \Leftrightarrow GL||BC$

mathematica.gr

O 590 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

O 590 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: O 590 AΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS