Από Σερβία ο λόγος
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13230
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Από Σερβία ο λόγος
και οι επανατέμνουν τον κύκλο στα αντίστοιχα. Να δείξετε ότι οι τέμνονται
σε σημείο του και ότι
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Από Σερβία ο λόγος
Πολύ καλή κ. Γιώργο!george visvikis έγραψε: ↑Δευ Ιουν 27, 2022 11:28 amΔίνεται τετράγωνο και ο κύκλος διαμέτρου Ένα σημείο κινείται στην πλευρά
και οι επανατέμνουν τον κύκλο στα αντίστοιχα. Να δείξετε ότι οι τέμνονται
σε σημείο του και ότι
Έστω ότι οι διαγώνιοι τέμνονται στο .
Ισχυρισμός 1: Τα τετράπλευρα και είναι εγγράψιμα, έστω στους κύκλους .
Απόδειξη: Προφανώς , οπότε είναι
συνεπώς το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. Όμοια και το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο
Στο πρόβλημα, είναι
άρα αν η τέμνει τον στο , τότε
δηλαδή , οπότε το πρώτο ερώτημα αποδείχθηκε.
Για το δεύτερο ερώτημα, χρειαζόμαστε έναν ακόμα Ισχυρισμό:
Ισχυρισμός 2: Οι ακτίνες των κύκλων είναι ίσες.
Απόδειξη: Είναι, ( η ακτίνα του κύκλου , με )
οπότε , όπως θέλαμε
Στο πρόβλημα, είναι
άρα
που αποδεικνύει το ζητούμενο.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13230
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Από Σερβία ο λόγος
Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Δευ Ιουν 27, 2022 2:03 pmΠολύ καλή κ. Γιώργο!george visvikis έγραψε: ↑Δευ Ιουν 27, 2022 11:28 amΑπό Σερβία ο λόγος.png
Δίνεται τετράγωνο και ο κύκλος διαμέτρου Ένα σημείο κινείται στην πλευρά
και οι επανατέμνουν τον κύκλο στα αντίστοιχα. Να δείξετε ότι οι τέμνονται
σε σημείο του και ότι
Έστω ότι οι διαγώνιοι τέμνονται στο .
Ισχυρισμός 1: Τα τετράπλευρα και είναι εγγράψιμα, έστω στους κύκλους .
Απόδειξη: Προφανώς , οπότε είναι
συνεπώς το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. Όμοια και το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο
Στο πρόβλημα, είναι
άρα αν η τέμνει τον στο , τότε
δηλαδή , οπότε το πρώτο ερώτημα αποδείχθηκε.
Για το δεύτερο ερώτημα, χρειαζόμαστε έναν ακόμα Ισχυρισμό:
Ισχυρισμός 2: Οι ακτίνες των κύκλων είναι ίσες.
Απόδειξη: Είναι, ( η ακτίνα του κύκλου , με )
οπότε , όπως θέλαμε
Στο πρόβλημα, είναι
άρα
που αποδεικνύει το ζητούμενο.
To σχήμα στην πολύ ωραία λύση του Ορέστη
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Από Σερβία ο λόγος
Έπεσα πάνω στο ωραίο αυτό θέμα και μετά από την πολύ όμορφη λύση του Άριστου Ορέστη, ας δούμε και την διαπραγμάτευση που ακολουθεί και μόνο για λόγους μαθηματικής πολυφωνίας.george visvikis έγραψε: ↑Δευ Ιουν 27, 2022 11:28 amΑπό Σερβία ο λόγος.png
Δίνεται τετράγωνο και ο κύκλος διαμέτρου Ένα σημείο κινείται στην πλευρά
και οι επανατέμνουν τον κύκλο στα αντίστοιχα. Να δείξετε ότι οι τέμνονται
σε σημείο του και ότι
Αν η άλλη τομή της με τον κύκλο εκτός του σημείου έχουμε: Όμως από το εγγράψιμο προκύπτει Από τις έχουμε ότι το σημείο θα είναι σημείο της ευθείας δηλαδή και έτσι αποδείχτηκε το πρώτο ερώτημα.
Για το δεύτερο ερώτημα από τη προφανή ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων παίρνουμε
με τα ορθογώνια τρίγωνα να προκύπτουν όμοια, αφού ισχύει
Συνεπώς τελικά έχουμε: ή
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13230
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Από Σερβία ο λόγος
Αφού ευχαριστήσω και τον Σωτήρη για την επίσης πολύ ωραία λύση ,
να δώσω και την πηγή της άσκησης: TST Serbia 2004.
edit: Διόρθωσα την χρονολογία στην πηγή.
να δώσω και την πηγή της άσκησης: TST Serbia 2004.
edit: Διόρθωσα την χρονολογία στην πηγή.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Πέμ Ιουν 30, 2022 9:18 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 2753
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Από Σερβία ο λόγος
Α)Λίγο διαφορετικά από τον Ορέστηgeorge visvikis έγραψε: ↑Δευ Ιουν 27, 2022 11:28 amΑπό Σερβία ο λόγος.png
Δίνεται τετράγωνο και ο κύκλος διαμέτρου Ένα σημείο κινείται στην πλευρά
και οι επανατέμνουν τον κύκλο στα αντίστοιχα. Να δείξετε ότι οι τέμνονται
σε σημείο του και ότι
Αν το κέντρο του τετραγώνου,λόγω των γωνιών τα είναι εγράψιμμα,συνεπώς
οι μπλε γωνίες είναι ίσες όπως και οι κόκκινες
Αλλά εγγράψιμμο, που αποδεικνύει το ζητούμενο
Β)Επειδή οπότε και
Από τα ορθογώνια τρίγωνα
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες