Βαρύκεντρο και αυτό
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Βαρύκεντρο και αυτό
Χρησιμοποιώντας το συμπέρασμα αυτής της άσκησης (ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο) αποδείξτε την παρακάτω πρόταση:
Αν είναι οι προβολές του σημείου Lemoine τριγώνου στις πλευρές του, τότε το είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου
Επειδή είναι πιθανόν να έχει συζητηθεί ξανά, παρακαλώ μην δώσετε παραπομπές, μέχρι να γραφεί η πρώτη λύση. Ίσως υπάρχουν κάποιοι που την βλέπουν για πρώτη φορά.
Αν είναι οι προβολές του σημείου Lemoine τριγώνου στις πλευρές του, τότε το είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου
Επειδή είναι πιθανόν να έχει συζητηθεί ξανά, παρακαλώ μην δώσετε παραπομπές, μέχρι να γραφεί η πρώτη λύση. Ίσως υπάρχουν κάποιοι που την βλέπουν για πρώτη φορά.
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Βαρύκεντρο και αυτό
Καλημέρα Γιώργο!george visvikis έγραψε: ↑Σάβ Μάιος 21, 2022 10:58 amΧρησιμοποιώντας το συμπέρασμα αυτής της άσκησης (ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο) αποδείξτε την παρακάτω πρόταση:
Αν είναι οι προβολές του σημείου Lemoine τριγώνου στις πλευρές του, τότε το είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου
Επειδή είναι πιθανόν να έχει συζητηθεί ξανά, παρακαλώ μην δώσετε παραπομπές, μέχρι να γραφεί η πρώτη λύση. Ίσως υπάρχουν κάποιοι που την βλέπουν για πρώτη φορά.
Είναι γνωστή ιδιότητα του σημείου Lemoine τριγώνου (μια από τις πολλές χαρακτηριστικές του) αλλά ας δούμε μια απόδειξη (μάλλον πρωτοεμφανιζόμενη λόγω χρήσης νέου σχετικά θεωρήματος )
Έστω η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου και ας είναι οι προβολές του σημείου Lemoine L στις πλευρές του αντίστοιχα και οι ορθές προβολές των στις αντίστοιχα. Προφανώς (από τα δύο ύψη) το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου , το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου και το είναι παραλληλόγραμμο (απέναντι πλευρές παράλληλες λόγω καθετότητάς τους στην ίδια ευθεία) , οπότε (το σημείο τομής των διαγωνίων του) είναι το μέσο (και) της . Με το ορθέκεντρο του η ευθεία της διαμέσου του (αφού η διάμεσος και η συμμετροδιάμεσος από την ίδια κορυφή τριγώνου είναι ισογώνιες ως προς τις πλευρές της κορυφής αυτής). Αν είναι οι ορθές προβολές του στις αντίστοιχα, τότε με
Όμως (ορθογώνια με μια οξεία γωνία ίση) οπότε και ομοίως από
Από
Από τη σχέση σύμφωνα με το Stathis Koutras Theorem προκύπτει ότι η ισοδύναμα η κάθετη από το σημείο Lemoine στην διέρχεται από το μέσο της . Κυκλικά προκύπτει ότι και οι εκ του κάθετες στις διέρχονται από τα μέσα των αντίστοιχα, άρα το είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί .
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Βαρύκεντρο και αυτό
Ας δούμε και μια στοιχειωδέστατη λύση του ως άνω προβλήματοςgeorge visvikis έγραψε: ↑Σάβ Μάιος 21, 2022 10:58 amΧρησιμοποιώντας το συμπέρασμα αυτής της άσκησης (ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο) αποδείξτε την παρακάτω πρόταση:
Αν είναι οι προβολές του σημείου Lemoine τριγώνου στις πλευρές του, τότε το είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου
Επειδή είναι πιθανόν να έχει συζητηθεί ξανά, παρακαλώ μην δώσετε παραπομπές, μέχρι να γραφεί η πρώτη λύση. Ίσως υπάρχουν κάποιοι που την βλέπουν για πρώτη φορά.
Έστω το σημείο τομής της εκ του καθέτου στην με την , όπου οι ορθές προβολές του στις αντίστοιχα.
Προφανώς οι τετράδες ανήκουν σε κύκλους διαμέτρων αντίστοιχα (λόγω των ορθών απέναντι γωνιών από κατασκευής). Είναι και και συνεπώς τα τρίγωνα είναι όμοια (δύο γωνίες ίσες μια προς μια) , άρα , όπου η διάμεσος του αρχικού τριγώνου
Ομοίως προκύπτει ότι
Από και συνεπώς το μέσο της .
Με ακριβώς όμοιο τρόπο προκύπτει ότι διέρχονται από τα μέσα των και συνεπώς το σημείο Lemoine του είναι το βαρύκεντρο του ποδικού του τριγώνου και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί .
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Βαρύκεντρο και αυτό
Ας δούμε και μια ακόμα απόδειξη της εν λόγω πρότασης:george visvikis έγραψε: ↑Σάβ Μάιος 21, 2022 10:58 amΧρησιμοποιώντας το συμπέρασμα αυτής της άσκησης (ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο) αποδείξτε την παρακάτω πρόταση:
Αν είναι οι προβολές του σημείου Lemoine τριγώνου στις πλευρές του, τότε το είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου
Επειδή είναι πιθανόν να έχει συζητηθεί ξανά, παρακαλώ μην δώσετε παραπομπές, μέχρι να γραφεί η πρώτη λύση. Ίσως υπάρχουν κάποιοι που την βλέπουν για πρώτη φορά.
Έστω είναι το σημείο τομής της εκ του σημείου Lemoine καθέτου προς την με τη διάμεσο του τριγώνου και οι ορθές προβολές του στην αντίστοιχα. Είναι γνωστό ότι το είναι σημείο του ευθυγράμμου τμήματος που συνδέει το μέσο μιας πλευράς του τριγώνου με το μέσο του ύψους του που αντιστοιχεί σ’ αυτή, δηλαδή , με το μέσο του ύψους . Από και το μέσο της σύμφωνα με το θεώρημα της κεντρικής δέσμης θα είναι το μέσο της , δηλαδή Επίσης θεωρούμε γνωστό ότι ο λόγος των αποστάσεων του σημείου Lemoine από δύο πλευρές του τριγώνου ισούται με το λόγο των πλευρών αυτών, δηλαδή και με
Ομοίως προκύπτει ότι και συνεπώς το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο άρα η (δηλαδή η ) διέρχεται από το μέσο της και είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Βαρύκεντρο και αυτό
Πάμε τέλος (για σήμερα ) με την απόδειξη που μάλλον επιθυμεί ο Γιώργος αν κρίνω από την προτροπή για τη λύση:george visvikis έγραψε: ↑Σάβ Μάιος 21, 2022 10:58 amΧρησιμοποιώντας το συμπέρασμα αυτής της άσκησης (ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο) αποδείξτε την παρακάτω πρόταση:
Αν είναι οι προβολές του σημείου Lemoine τριγώνου στις πλευρές του, τότε το είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου
Επειδή είναι πιθανόν να έχει συζητηθεί ξανά, παρακαλώ μην δώσετε παραπομπές, μέχρι να γραφεί η πρώτη λύση. Ίσως υπάρχουν κάποιοι που την βλέπουν για πρώτη φορά.
Θεωρούμε γνωστό ότι Τα τρίγωνα έχουν (από το τετράπλευρο και ομοίως προκύπτει ότι: το βαρύκεντρο του και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Βαρύκεντρο και αυτό
Σ' ευχαριστώ πολύ Στάθη για όλες τις πολύ ενδιαφέρουσες λύσειςΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Κυρ Μάιος 22, 2022 11:56 pmΠάμε τέλος (για σήμερα ) με την απόδειξη που μάλλον επιθυμεί ο Γιώργος αν κρίνω από την προτροπή για τη λύση:george visvikis έγραψε: ↑Σάβ Μάιος 21, 2022 10:58 amΧρησιμοποιώντας το συμπέρασμα αυτής της άσκησης (ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο) αποδείξτε την παρακάτω πρόταση:
Αν είναι οι προβολές του σημείου Lemoine τριγώνου στις πλευρές του, τότε το είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου
Επειδή είναι πιθανόν να έχει συζητηθεί ξανά, παρακαλώ μην δώσετε παραπομπές, μέχρι να γραφεί η πρώτη λύση. Ίσως υπάρχουν κάποιοι που την βλέπουν για πρώτη φορά.
Θεωρούμε γνωστό ότι
Βαρύκεντρο και αυτό 3.png
Τα τρίγωνα έχουν (από το τετράπλευρο και ομοίως προκύπτει ότι: το βαρύκεντρο του και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Πράγματι, αυτή η τελευταία είναι που είχα υπόψη μου όταν πρότεινα την άσκηση.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Βαρύκεντρο και αυτό
Καλημέρα Γιώργο !george visvikis έγραψε: ↑Σάβ Μάιος 21, 2022 10:58 amΧρησιμοποιώντας το συμπέρασμα αυτής της άσκησης (ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο) αποδείξτε την παρακάτω πρόταση:
Αν είναι οι προβολές του σημείου Lemoine τριγώνου στις πλευρές του, τότε το είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου
Επειδή είναι πιθανόν να έχει συζητηθεί ξανά, παρακαλώ μην δώσετε παραπομπές, μέχρι να γραφεί η πρώτη λύση. Ίσως υπάρχουν κάποιοι που την βλέπουν για πρώτη φορά.
Επειδή έγραψες καλά λόγια για μένα πρέπει να σου το ανταποδώσω με μια ακόμα λύση
Έστω το σημείο τομής της εκ του σημείου Lemoine τριγώνου καθέτου προς την με την , όπου οι ορθές προβολές του στις αντίστοιχα και ας είναι το συμμετρικό του ως προς το μέσο της .
Τότε το είναι παραλληλόγραμμο (οι διαγώνιές του διχοτομούνται) οπότε : και
Από και με προκύπτει ότι τα είναι ομόλογα τμήματα των ομοίων αυτών τριγώνων , και με διάμεσο (από κατασκευής) του διάμεσος του , δηλαδή η διέρχεται από το μέσο της .
Κυκλικά οι θα διέρχονται από τα μέσα των αντίστοιχα, οπότε το είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί .
Y.S. Από την ομοιότητα των ως άνω τριγώνων προκύπτει και η σχέση που χρησιμοποιήθηκε σε προηγούμενη απόδειξη
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες