O 585 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
-
- Δημοσιεύσεις: 1283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
O 585 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS
Σας παρουσιάζω ένα θέμα από το δεύτερο τεύχος των Mathematical Reflections του 2022.
Πρόκειται για το θέμα Ο 585 που το πρότεινε ο Marian Ursărescu από τη Ρουμανία.
Η ημερομηνία υποβολής των λύσεων παρήλθε, έτσι μπορώ να το μοιραστώ μαζί σας.
Αποδείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει
Πρόκειται για το θέμα Ο 585 που το πρότεινε ο Marian Ursărescu από τη Ρουμανία.
Η ημερομηνία υποβολής των λύσεων παρήλθε, έτσι μπορώ να το μοιραστώ μαζί σας.
Αποδείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 1283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: O 585 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS
Νομίζω ότι πρέπει να γράψω τη λύση που βρήκα...
Με παρόμοιες σκέψεις προκύπτει ότι
και ότι
Συνεπώς
Θα αποδείξω τη δεξιά ανισότητα.
Αυτή είναι ισοδύναμη με
Θα αποδείξω την τελευταία.
Γνωρίζουμε ότι
Έτσι αν αποδειχθεί ότι
ολοκληρώθηκε η απόδειξη.
Όμως εύκολα διαπιστώνεται ότι η ανισότητα αυτή είναι ισοδύναμη με τη γνωστή
Aποδείχθηκε η δεξιά ανισότητα.
Aς δούμε την αριστερή ανισότητα.
Αυτή είναι ισοδύναμη με την
Γνωρίζουμε ότι και ότι
Έτσι
Αρκεί λοιπόν να αποδείξω ότι
Όμως εύκολα διαπιστώνεται ότι η ανισότητα αυτή είναι ισοδύναμη με τη γνωστή
Aποδείχθηκε και η αριστερή ανισότητα.
Ειλικρινά, θα είμαι χαρούμενος αν υπάρχουν τρία άτομα που θα διαβάσουν την απόδειξη αυτή...
Με παρόμοιες σκέψεις προκύπτει ότι
και ότι
Συνεπώς
Θα αποδείξω τη δεξιά ανισότητα.
Αυτή είναι ισοδύναμη με
Θα αποδείξω την τελευταία.
Γνωρίζουμε ότι
Έτσι αν αποδειχθεί ότι
ολοκληρώθηκε η απόδειξη.
Όμως εύκολα διαπιστώνεται ότι η ανισότητα αυτή είναι ισοδύναμη με τη γνωστή
Aποδείχθηκε η δεξιά ανισότητα.
Aς δούμε την αριστερή ανισότητα.
Αυτή είναι ισοδύναμη με την
Γνωρίζουμε ότι και ότι
Έτσι
Αρκεί λοιπόν να αποδείξω ότι
Όμως εύκολα διαπιστώνεται ότι η ανισότητα αυτή είναι ισοδύναμη με τη γνωστή
Aποδείχθηκε και η αριστερή ανισότητα.
Ειλικρινά, θα είμαι χαρούμενος αν υπάρχουν τρία άτομα που θα διαβάσουν την απόδειξη αυτή...
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: O 585 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS
Ωραία λύση κ.ΤηλέμαχεΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑Δευ Μάιος 16, 2022 4:51 amΣας παρουσιάζω ένα θέμα από το δεύτερο τεύχος των Mathematical Reflections του 2022.
Πρόκειται για το θέμα Ο 585 που το πρότεινε ο Marian Ursărescu από τη Ρουμανία.
Η ημερομηνία υποβολής των λύσεων παρήλθε, έτσι μπορώ να το μοιραστώ μαζί σας.
Αποδείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει
Εναλλακτικά για την δεξιά, απλώς και μόνο γιατί συμπτωματικά σήμερα στο σχολείο βρήκα τον εξής τρόπο για την απλοποίηση αθροισμάτων σαν το παραπάνω,
Θέτουμε λοιπόν, η φανταστική μονάδα.
Είναι και οπότε
το οπότε το παραπάνω γίνεται
Άρα μένει να δείξουμε ότι
Γράφουμε και από την η παραπάνω ανάγεται στην που ισχύει.
το αριστερό μέλος φαίνεται πιο πολύπλοκο με αυτόν τον τρόπο (οδηγεί στην αν δεν κάνω λάθος)
-
- Δημοσιεύσεις: 1283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: O 585 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS
Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Πρόδρομο τόσο για την προσοχή που έδωσε στη λύση μου όσο και για τη λύση του.
Αν ξέρω ότι κάποια ταλαντούχα παιδιά διαβάζουν κάποιες δημοσιεύσεις μου, αυτό μου δίνει λίγο κουράγιο να συνεχίσω να ασχολούμαι με απαιτητικά θέματα.
Αν ξέρω ότι κάποια ταλαντούχα παιδιά διαβάζουν κάποιες δημοσιεύσεις μου, αυτό μου δίνει λίγο κουράγιο να συνεχίσω να ασχολούμαι με απαιτητικά θέματα.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες