Από το μέσο της χορδής

#1

: Από το μέσο της χορδής.png (17.69 KiB) Προβλήθηκε 812 φορές

Τρίγωνο

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο διαμέτρου $PQ\bot BC,$ (A, Q

προς το ίδιο μέρος της BC).

Αν

είναι

η προβολή του

στην

να δείξετε ότι ο περίκυκλος του ABM

διέρχεται από το μέσο

της χορδής AP.

Ορέστης Λιγνός · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 21, 2022 10:49 am

Από το μέσο της χορδής.png
Τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο διαμέτρου $PQ\bot BC,$ προς το ίδιο μέρος της Αν είναι

η προβολή του στην να δείξετε ότι ο περίκυκλος του διέρχεται από το μέσο της χορδής

Καλησπέρα κ. Γιώργο.

Έστω

το συμμετρικό του

ως προς το

, και

το συμμετρικό του

ως προς το

. Από το Θεώρημα της σπασμένης χορδής, είναι AB+AM=MC

, οπότε

Επομένως, τα τρίγωνα KBP

και

έχουν

,

και $\angle KBP=\angle TCP$ , συνεπώς είναι ίσα. Άρα, KP=PT

, δηλαδή

$BN=\dfrac{KP}{2}=\dfrac{PT}{2}=MN$

Ας υποθέσουμε, τώρα, ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ABM

τέμενι την

στο

. Τότε,

$\angle N'MB=\angle N'AB=\angle N'AC=\angle MBN',$

και άρα το τρίγωνο MBN'

είναι ισοσκελές με N'B=N'M

. Οπότε, τα N,N'

ανήκουν τόσο στην

, όσο και στην μεσοκάθετο της

, οπότε πρέπει $N \equiv N'$ , που προφανώς δίνει το ζητούμενο.

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 21, 2022 10:49 am
Από το μέσο της χορδής.png
Τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο διαμέτρου $PQ\bot BC,$ προς το ίδιο μέρος της Αν είναι

η προβολή του στην να δείξετε ότι ο περίκυκλος του διέρχεται από το μέσο της χορδής

Ας το δούμε και λιγάκι διαφορετικά από τον Ορέστη !

Έστω $T\equiv BC\cap PQ$ οπότε προφανώς με

διάμετρο του περίκυκλου του τριγώνου $\vartriangle ABC$ θα είναι

μεσοκάθετη της

και ας είναι

το συμμετρικό του

ως προς το

.

: Από το μέσο της χορδής.png (37.72 KiB) Προβλήθηκε 759 φορές

Τότε $TM\overset{T,M\,\,\mu \varepsilon \sigma \alpha \,\,\delta \upsilon o\,\,\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho \omega \nu \,\,\tau o\upsilon \,\,\vartriangle BCE}{\mathop{\parallel }}\,EB:\left( 1 \right)$ και προφανώς M,T,C,Q

σημεία κύκλου διαμέτρου

(λόγω των ορθών γωνιών $\angle CMQ,\angle CTQ$ οπότε $\angle QTM=\angle QCM\equiv \angle ACQ\overset{A,Q,C,P\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle QPA$ $\Rightarrow MT\parallel AP\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,EB\parallel AP\Rightarrow \angle CEB=\angle PAC\overset{\tau o\xi PC=\tau o\xi BP}{\mathop{=}}\,\angle BAP$
$\overset{\angle ECB\equiv \angle ACB=\angle APB}{\mathop{\Rightarrow }}\,\vartriangle BEC\sim \vartriangle BAP:\left( 3 \right)$

Εξάλλου έχουμε: $\angle PBC=\angle PAC\equiv \angle NAM\overset{A,M,N,B\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle MBN\Rightarrow \angle PAN=\angle CBM:\left( 4 \right)$

Από την $\left( 4 \right)$ προκύπτει ότι BN,BM

είναι ομόλογα τμήματα των ομοίων τριγώνων $\vartriangle BAP,\vartriangle BEC$ και με

διάμεσο του $\vartriangle BEC$ (από κατασκευής (λόγω της φερόμενης συμμετρίας)) θα είναι και

διάμεσος του $\vartriangle BEP$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί .

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 21, 2022 10:49 am
Από το μέσο της χορδής.png
Τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο διαμέτρου $PQ\bot BC,$ προς το ίδιο μέρος της Αν είναι

η προβολή του στην να δείξετε ότι ο περίκυκλος του διέρχεται από το μέσο της χορδής

Γράφω τον κύκλο που διέρχεται από τα $A\,\,,\,\,B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M$ . Η

τον τέμνει ακόμα στο

και δον αρχικό κύκλο στο

.

Έστω δε

το σημείο τομής του κύκλου $\left( {A,B,M} \right)$ με τη χορδή

. Θα δείξω ότι το

είναι μέσο του

, δηλαδή ταυτίζεται με το

.

: Απο το μέσο χορδής_new.png (30.91 KiB) Προβλήθηκε 681 φορές

Επειδή $\widehat {{C_{}}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{Q_{}}}$ είναι ίσες το τετράπλευρο ABDP

είναι ισοσκελές τραπέζιο και άρα , $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}\,\,\,\left( 1 \right)$ .

Ο κύκλος $\left( {A,B,M} \right)$ έχει διάμετρο την

με άμεση συνέπεια το τετράπλευρο, DPZE

να είναι εγγράψιμο .

Προφανώς τώρα $\left\{ \begin{gathered} \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _3}} \hfill \\ \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _4}} \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \,\boxed{\,\widehat {{\theta _3}} = \widehat {{\theta _4}}}$

που μας εγγυάται ότι η

είναι μεσοκάθετη στο

και άρα το

είναι το μέσο της άλλης βάσης του ισοσκελούς τραπεζίου ABDP

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 21, 2022 10:49 am
Από το μέσο της χορδής.png
Τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο διαμέτρου $PQ\bot BC,$ προς το ίδιο μέρος της Αν είναι

η προβολή του στην να δείξετε ότι ο περίκυκλος του διέρχεται από το μέσο της χορδής

Η

τέμνει τον κύκλο (A,B,M)

στο

,η

τον τέμνει στο

,η

τέμνει τον κύκλο

(A,B,C)

στο

και η

τέμνει την

στο

Είναι γνωστό ότι IS//QZ

κι επειδή το AISN

προφανώς είναι ορθογώνιο,έχουμε

$ZQ \bot IQ \Rightarrow ZQ//AP$ άρα $SL\bot QZ$

Αλλά $\angle BAP= \angle PAZ= \angle BSL=\angle LSM \Rightarrow SL$ μεσοκάθετη της

άρα και της $AP\Rightarrow AN=NP$

: Από το μέσο της χορδής.png (53.9 KiB) Προβλήθηκε 661 φορές

#6

Όλες οι λύσεις είναι πολύ ωραίες Ας δούμε άλλη μία.

Έστω K, L

τα μέσα των BC, MC

αντίστοιχα και

το σημείο τομής των KM, BA.

Θα δείξω ότι το σημείο

τομής

της

με το περίκυκλο του ABM

ταυτίζεται με το

δηλαδή είναι το μέσο της χορδής AP.

: Διέρχεται από το μέσο.Γ..png (25.25 KiB) Προβλήθηκε 570 φορές

$\displaystyle QM \bot AC,QK \bot BC,$ άρα

είναι η ευθεία Simson του τριγώνου ABC

που αντιστοιχεί στο σημείο

δηλαδή $BS\bot SQ.$ Επειδή η

διχοτομεί την $S\widehat AC$ και το SAMQ

είναι εγγράψιμο, θα είναι $SK\bot AQ$ οπότε

AP||SK.

Όμως

άρα οι πράσινες γωνίες είναι ίσες, όπως και οι κόκκινες. Τα τρίγωνα ABP, MKC

είναι λοιπόν όμοια, όπως και τα ABF, MKL.

Αλλά

είναι το μέσο του MC,

οπότε και το

είναι μέσο του AP.

Από το μέσο της χορδής

Από το μέσο της χορδής

Re: Από το μέσο της χορδής

Re: Από το μέσο της χορδής

Re: Από το μέσο της χορδής

Re: Από το μέσο της χορδής

Re: Από το μέσο της χορδής

Μέλη σε σύνδεση