Σύγκλιση από συγκλίσεις 1

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4349
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Σύγκλιση από συγκλίσεις 1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Δεκ 06, 2021 2:29 pm

Σύγκλιση από συγκλίσεις 1.png
Σύγκλιση από συγκλίσεις 1.png (39.59 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές
Έστω D,E,F τα σημεία επαφής του έγκυκλου τριγώνου \vartriangle ABC με τις πλευρές του BC,CA,AB αντίστοιχα και X τυχόν σημείο του έγκυκλου, και ας είναι J\equiv XD\cap EF,K\equiv XE\cap FD,L\equiv FX\cap ED . Αν AM,BN,CP είναι σεβιανές του τριγώνου (διέρχονται από το ίδιο σημείο), να δείξετε ότι οι JM,KN,LP διέρχονται από το ίδιο σημείο (έστω S )


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Λέξεις Κλειδιά:
Σπύρος Καλλίας
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 21, 2021 7:10 pm

Re: Σύγκλιση από συγκλίσεις 1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σπύρος Καλλίας » Παρ Δεκ 24, 2021 2:12 pm

Από το Θεώρημα Pascal για το εκφυλισμένο εξάγωνο EFDDXE τα σημεία J,K,C είναι συνευθειακά.
Από το ίδιο θεώρημα για το εκφυλισμένο FXEEDF τα σημεία A,K,L είναι συνευθειακά. Όμοια, τα σημεία B,J,L είναι συνευθειακά.
Επομένως τα σημεία A,B,C ανήκουν στις KL,JL,KJ αντίστοιχα.

Είναι γνωστό ότι οι AM,BN,CP συντρέχουν και θέλω να αποδείξω ότι οι JM,KN,LP συντρέχουν.
Από το Θεώρημα Cevian Nest, αρκεί να αποδείξω ότι οι JA,KB,LC συντρέχουν.

Οι πολικές-πόλοι είναι ως προς τον εγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC.
Είναι γνωστό ότι η πολική του J είναι η KL και η πολική του Α είναι η FE. Από το Θεώρημα La Hire ο πόλος της JA είναι το σημείο KL\cap FE.
Όμοια, ο πόλος της ΚΒ είναι το σημείο JL\cap FD και ο πόλος της LC είναι το σημείο KJ\cap ED.
Από το Θεώρημα La Hire αρκεί να αποδείξω ότι τα σημεία KL\cap FE, JL\cap FD, KJ\cap ED είναι συνευθειακά.

Από το Θεώρημα Desarques, αρκεί να αποδείξω ότι οι ευθείες KE,JD,LF συντρέχουν, που ισχύει (συντρέχουν στο Χ).

Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης