Ισοσκελές τρίγωνο και ισογωνιότητα.
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Ισοσκελές τρίγωνο και ισογωνιότητα.
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με και έστω το ύψος του. Η μεσοκάθετη ευθεία της πλευράς τέμνει την πλευρά στο σημείο και ας είναι , η προβολή του επί της . Έστω , το συμμετρικό σημείο του ως προς το σημείο και ας είναι , η προβολή του επί της . Αποδείξτε ότι , όπου .
Κώστας Βήττας.
Κώστας Βήττας.
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Ισοσκελές τρίγωνο και ισογωνιότητα.
Με προκύπτει ότι τα είναι τα περίκεντρα των τριγώνων αντίστοιχα (σημεία τομής δύο μεσοκαθέτων των πλευρών τους) . Έτσι έχουμε:vittasko έγραψε: ↑Παρ Δεκ 03, 2021 11:13 amΔίνεται ισοσκελές τρίγωνο με και έστω το ύψος του. Η μεσοκάθετη ευθεία της πλευράς τέμνει την πλευρά στο σημείο και ας είναι , η προβολή του επί της . Έστω , το συμμετρικό σημείο του ως προς το σημείο και ας είναι , η προβολή του επί της . Αποδείξτε ότι , όπου .
Κώστας Βήττας.
f=181 t=70650.PNG
Οπότε :
Από (κάθετες στην ίδια ευθεία) θα είναι
(δύο γωνίες ίσες μια προς μια και τις περιεχόμενες πλευρές τους ανάλογες) και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Ισοσκελές τρίγωνο και ισογωνιότητα.
Τα τρίγωνα έχουν και άρα, για να ισχύει το ζητούμενο αρκεί να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα αυτά είναι όμοια.
Έστω το σημείο και έχουμε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές λόγω και .
Ισχύει όπου , είναι οι προβολές των σημείων επί των ευθειών , αντιστοίχως.
Από έχουμε ότι το σημείο ταυτίζεται με το περίκεντρο του τριγώνου .
Ισχύει
Από λογω .
Από Από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε
Από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε λόγω .
Από λόγω .
Από το ορθογώνιο τρίγωνο με έχουμε
Από
Από και συμπεραίνεται ότι τα τρίγωνα είναι όμοια και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Έστω το σημείο και έχουμε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές λόγω και .
Ισχύει όπου , είναι οι προβολές των σημείων επί των ευθειών , αντιστοίχως.
Από έχουμε ότι το σημείο ταυτίζεται με το περίκεντρο του τριγώνου .
Ισχύει
Από λογω .
Από Από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε
Από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε λόγω .
Από λόγω .
Από το ορθογώνιο τρίγωνο με έχουμε
Από
Από και συμπεραίνεται ότι τα τρίγωνα είναι όμοια και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες