Ισοτομικό ίχνους ύψους

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4349
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Ισοτομικό ίχνους ύψους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Δεκ 01, 2021 4:32 pm

Ισοτομικό ίχνους ύψους.png
Ισοτομικό ίχνους ύψους.png (35.55 KiB) Προβλήθηκε 229 φορές
Έστω M το μέσο της πλευράς BC τριγώνου \vartriangle ABC και AH το ύψος του. Αν P,Q είναι τα σημεία τομής των καθέτων από το M στις ευθείες AB,AC με τις AC,AB αντίστοιχα να δειχθεί ότι ο περίκυκλος του τριγώνου \vartriangle MPQ διέρχεται και από το ισοτομικό X του H


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2169
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισοτομικό ίχνους ύψους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Δεκ 03, 2021 12:15 am

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Τετ Δεκ 01, 2021 4:32 pm
Ισοτομικό ίχνους ύψους.png
Έστω M το μέσο της πλευράς BC τριγώνου \vartriangle ABC και AH το ύψος του. Αν P,Q είναι τα σημεία τομής των καθέτων από το M στις ευθείες AB,AC με τις AC,AB αντίστοιχα να δειχθεί ότι ο περίκυκλος του τριγώνου \vartriangle MPQ διέρχεται και από το ισοτομικό X του H
K είναι ορθόκεντρο του τριγώνου ABM και M ορθόκεντρο του τριγώνου APQ

Έτσι, \angle  A_{1}= \angle  \phi κι επιπλέον ισχύει MS.MA=MH.MB=MX.MC οπότε ASXC εγγράψιμμο

Άρα  \angle  \theta =\angle  A_{1} = \angle  \phi και το ζητούμενο αποδείχτηκε
Ισοτομικό ίχνους ύψους.png
Ισοτομικό ίχνους ύψους.png (295.17 KiB) Προβλήθηκε 164 φορές


giannimani
Δημοσιεύσεις: 130
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ισοτομικό ίχνους ύψους

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Παρ Δεκ 03, 2021 7:44 pm

concycl.png
concycl.png (54.97 KiB) Προβλήθηκε 102 φορές
Συμβολίζουμε με \Omega τον περιγεγραμμένο κύκλο του \triangle ABC.
Έστω T το σημείο τομής των εφαπτομένων του κύκλου \Omega στα σημεία του B και C.
Η AT είναι η A-συμμετροδιάμεσος του \triangle ABC, και λόγω της υπόθεσης το M είναι
το ορθόκεντρο του \triangle APQ. Τα τετράπλευρα TMBQ και TMCP είναι εγγράψιμα (\angle BQM=\angle BTM= 90^{\circ}-\angle BAC,
και όμοια για το TMCP). Επομένως, TQ\bot AQ και TP \bot AP.
Προεκτείνουμε τη διάμεσο AM κατά τμήμα MD= AM. Εφόσον, το ABDC παραλληλόγραμμο,
αν H, X' οι προβολές των A, D στη BC αντίστοιχα, τότε MH = MX', δηλαδή, X'\equiv X.
Τα σημεία T, D είναι ισογώνια συζυγή ως προς τις πλευρές του τριγώνου ABC (*), επομένως
έχουν κοινό ποδικό κύκλο τον (PMQ) (**). Ως εκ τούτου, το X\in (PMQ).

(*) Προκύπτει, άμεσα από απλή μεταφορά γωνιών.
(**) Βλέπε, για παράδειγμα, Nathan Altshiller-Court: College Geometry, σελ. 271.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης