Ομοκυκλικά από συμμετρία
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13298
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Ομοκυκλικά από συμμετρία
την στο και έστω το συμμετρικό του ως προς την Να δείξετε ότι ο περίκυκλος του διέρχεται από το
Λέξεις Κλειδιά:
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Ομοκυκλικά από συμμετρία
Έστω το σημείο και ας είναι , το σημείο τομής του από την μεσοκάθετη ευθεία του τμήματος .
Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα, έχουμε ότι η ευθεία περνάει από το μέσον του τμήματος και έστω το σημείο .
Από και προκύπτει ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο και άρα
Το τραπέζιο τώρα, είναι ισοσκελές γιατί η μεσοκάθετη ευθεία της βάσης του , περνάει από το σημείο τομής των διαγωνίων του και επομένως είναι εγγράψιμο.
Το σημείο δηλαδή ανήκει στον περίκυκλο του τριγώνου . Από και οπότε το είναι ισοσκελές τραπέζιο, λόγω και άρα εγγράψιμο.
Συμπεραίνεται έτσι, ότι το σημείο ανήκει στον περίκυκλο του τριγώνου και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
ΛΗΜΜΑ. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με και έστω , το σημείο στην προέκταση της προς το μέρος του , ώστε να είναι . Η δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την , τέμνει την μεσοκάθετη ευθεία της πλευράς στο σημείο έστω και η μεσοκάθετη ευθεία του τμήματος τέμνει το στο σημείο έστω . Αποδείξτε ότι η ευθεία περνάει από το μέσον του τμήματος .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου για το ως άνω Λήμμα.
Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα, έχουμε ότι η ευθεία περνάει από το μέσον του τμήματος και έστω το σημείο .
Από και προκύπτει ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο και άρα
Το τραπέζιο τώρα, είναι ισοσκελές γιατί η μεσοκάθετη ευθεία της βάσης του , περνάει από το σημείο τομής των διαγωνίων του και επομένως είναι εγγράψιμο.
Το σημείο δηλαδή ανήκει στον περίκυκλο του τριγώνου . Από και οπότε το είναι ισοσκελές τραπέζιο, λόγω και άρα εγγράψιμο.
Συμπεραίνεται έτσι, ότι το σημείο ανήκει στον περίκυκλο του τριγώνου και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
ΛΗΜΜΑ. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με και έστω , το σημείο στην προέκταση της προς το μέρος του , ώστε να είναι . Η δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την , τέμνει την μεσοκάθετη ευθεία της πλευράς στο σημείο έστω και η μεσοκάθετη ευθεία του τμήματος τέμνει το στο σημείο έστω . Αποδείξτε ότι η ευθεία περνάει από το μέσον του τμήματος .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου για το ως άνω Λήμμα.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Ομοκυκλικά από συμμετρία
Έστω , ο κύκλος με κέντρο το σημείο και ακτίνα και έστω το σημείο .vittasko έγραψε: ↑Κυρ Νοέμ 28, 2021 9:19 pmΛΗΜΜΑ. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με και έστω , το σημείο στην προέκταση της προς το μέρος του , ώστε να είναι . Η δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την , τέμνει την μεσοκάθετη ευθεία της πλευράς στο σημείο έστω και η μεσοκάθετη ευθεία του τμήματος τέμνει το στο σημείο έστω . Αποδείξτε ότι η ευθεία περνάει από το μέσον του τμήματος .
Από και έστω το σημείο .
Από έχουμε ότι το σημείο ανήκει στον κύκλο έστω με διάμετρο το τμήμα . Οι κύκλοι τώρα, είναι ομοιόθετοι με κέντρο ομοιοθεσίας το σημείο και λόγο ομοιοθεσίας και άρα, ισχύει
Από
Από προκύπτει ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο και άρα έχουμε
Από συμπεραίνεται ότι η ευθεία περνάει από το μέσον του τμήματος και το Λήμμα έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Βλέπω τώρα ότι η ομοιoθεσία των κύκλων δεν μας χρειάζεται, αφού από .
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Ομοκυκλικά από συμμετρία
Ας δούμε και μια διαφορετική αντιμετώπιση του προβλήματος Σύμφωνα με το Λήμμα που υπάρχει στην Διέλευση από το μέσο(δεν έδωσα πριν τη λύση στο παρόν γιατί βρήκα το εν λόγω λήμμα ενδιαφέρον και άλλωστε δεν θα παίρναμε τις καταπληκτικές λύσεις του (ιδιαίτερα του Μιχάλη (Τσουρακάκη)) η διέρχεται από το μέσο της και ας είναι και .george visvikis έγραψε: ↑Τετ Νοέμ 24, 2021 11:47 amΟμοκυκλικά από συμμετρία.png
Έστω η διχοτόμος και το έγκεντρο ισοσκελούς τριγώνου Η κάθετη από το στην τέμνει
την στο και έστω το συμμετρικό του ως προς την Να δείξετε ότι ο περίκυκλος του διέρχεται από το
Είναι : (παράλληλες πλευρές του ίδιου προσανατολισμού) και με
Προφανώς διχοτομεί την εξωτερική (ως κάθετη στην εσωτερική διχοτόμο) γωνία του ισοσκελούς τριγώνου και συνεπώς ομοκυκλικά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες