Ομοκυκλικά από συμμετρία

#1

: Ομοκυκλικά από συμμετρία.png (14.48 KiB) Προβλήθηκε 612 φορές

Έστω

η διχοτόμος και

το έγκεντρο ισοσκελούς τριγώνου ABC(AB=AC).

Η κάθετη από το

στην

τέμνει

την

στο

και έστω

το συμμετρικό του

ως προς την AC.

Να δείξετε ότι ο περίκυκλος του BED

διέρχεται από το

#2

$\bullet$ Έστω το σημείο $N\equiv CD\cap IJ$ και ας είναι

, το σημείο τομής του

από την μεσοκάθετη ευθεία του τμήματος

.

Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα, έχουμε ότι η ευθεία

περνάει από το μέσον

του τμήματος

και έστω το σημείο $Z\equiv PD\cap IJ$ .

Από $IZ\parallel DE$ και IM = ME

προκύπτει ότι το τετράπλευρο DEZI

είναι παραλληλόγραμμο και άρα $EZ\parallel ID\equiv BD\ \ \ ,(1)$

Το τραπέζιο BDEZ

τώρα, είναι ισοσκελές γιατί η μεσοκάθετη ευθεία της βάσης του

, περνάει από το σημείο τομής

των διαγωνίων του $BE,\ DZ$ και επομένως είναι εγγράψιμο.

Το σημείο

δηλαδή ανήκει στον περίκυκλο (O)

του τριγώνου $\vartriangle BDE$ .

: Ομοκυκλικά σημεία από συμμετρία.; f=181 t=70578.PNG (23.08 KiB) Προβλήθηκε 459 φορές

$\bullet$ Από $EZ\parallel = DI$ και $DI = DJ\Rightarrow$ EZ = DJ

οπότε το

είναι ισοσκελές τραπέζιο, λόγω $ED\parallel ZJ$ και άρα εγγράψιμο.

Συμπεραίνεται έτσι, ότι το σημείο

ανήκει στον περίκυκλο (O)

του τριγώνου $\vartriangle DEZ$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

ΛΗΜΜΑ. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με και έστω , το σημείο στην προέκταση της προς το μέρος του , ώστε να είναι $\angle ACD = \angle C = \angle B$ . Η δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την , τέμνει την μεσοκάθετη ευθεία της πλευράς στο σημείο έστω και η μεσοκάθετη ευθεία του τμήματος τέμνει το στο σημείο έστω . Αποδείξτε ότι η ευθεία περνάει από το μέσον του τμήματος .

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου για το ως άνω Λήμμα.

#3

vittasko έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 28, 2021 9:19 pm
ΛΗΜΜΑ. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με και έστω , το σημείο στην προέκταση της προς το μέρος του , ώστε να είναι $\angle ACD = \angle C = \angle B$ . Η δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την , τέμνει την μεσοκάθετη ευθεία της πλευράς στο σημείο έστω και η μεσοκάθετη ευθεία του τμήματος τέμνει το στο σημείο έστω . Αποδείξτε ότι η ευθεία περνάει από το μέσον του τμήματος .

$\bullet$ Έστω (E)

, ο κύκλος με κέντρο το σημείο

και ακτίνα EB = EC

και έστω το σημείο $F\equiv (E)\cap BD$ .

Από $\angle PDB = \angle EBF = \angle EFB\Rightarrow$ $\boxed{PD\parallel EF}\ \ \ ,(1)$ και έστω το σημείο $Z\equiv (E)\cap CD$ .

Από $CD\perp DE$ έχουμε ότι το σημείο

ανήκει στον κύκλο έστω (K)

με διάμετρο το τμήμα

.

: Ομοκυκλικά σημεία απο συμμετρία - Απόδειξη του Λήμματος.; f=181 t=70578(a).PNG (19.85 KiB) Προβλήθηκε 509 φορές

$\bullet$ Οι κύκλοι $(K),\ (E)$ τώρα, είναι ομοιόθετοι με κέντρο ομοιοθεσίας το σημείο

και λόγο ομοιοθεσίας $\displaystyle \lambda = \frac{1}{2}$ και άρα, ισχύει $\boxed{CD = DZ}\ \ \ ,(2)$

Από $\angle CZF = \angle CBF = \angle ACB = \angle ACZ\Rightarrow$ $\boxed{ZF\parallel AC}\ \ \ ,(3)$

Από $(2),\ (3)$ προκύπτει ότι το τετράπλευρο ACFZ

είναι παραλληλόγραμμο και άρα έχουμε $\boxed{AD = DF}\ \ \ ,(4)$

Από $(1),\ (4)$ συμπεραίνεται ότι η ευθεία

περνάει από το μέσον

του τμήματος

και το Λήμμα έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Βλέπω τώρα ότι η ομοιoθεσία των κύκλων $(K),\ (E)$ δεν μας χρειάζεται, αφού από $ED\perp CZ\Rightarrow$ $\boxed{CD = DZ}$ .

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 24, 2021 11:47 am
Ομοκυκλικά από συμμετρία.png
Έστω η διχοτόμος και το έγκεντρο ισοσκελούς τριγώνου Η κάθετη από το στην τέμνει

την στο και έστω το συμμετρικό του ως προς την Να δείξετε ότι ο περίκυκλος του διέρχεται από το

Ας δούμε και μια διαφορετική αντιμετώπιση του προβλήματος

: ομοκυκλικά από συμμετρία.png (43.25 KiB) Προβλήθηκε 456 φορές

Σύμφωνα με το Λήμμα που υπάρχει στην Διέλευση από το μέσο(δεν έδωσα πριν τη λύση στο παρόν γιατί βρήκα το εν λόγω λήμμα ενδιαφέρον και άλλωστε δεν θα παίρναμε τις καταπληκτικές λύσεις του (ιδιαίτερα του Μιχάλη (Τσουρακάκη)) η

διέρχεται από το μέσο

της

και ας είναι $N\equiv IJ\cap AC$ και $T\equiv JD\cap AI,M\equiv AI\cap BC$ .
Είναι : $NL\parallel IB\overset{IB\equiv DI}{\mathop{\Rightarrow }}\,NL\parallel DI\overset{NI\parallel DE}{\mathop{\Rightarrow }}\,\angle INL=\angle EDI:\left( 1 \right)$ (παράλληλες πλευρές του ίδιου προσανατολισμού) και με $\angle DIE\overset{\kappa \alpha \tau \alpha \kappa o\rho \upsilon \varphi \eta }{\mathop{=}}\,\angle MIB\overset{\sigma \upsilon \mu \mu \varepsilon \tau \rho \iota \alpha }{\mathop{=}}\,\angle MIC\overset{\sigma \upsilon \mu \mu \varepsilon \tau \rho \iota \alpha }{\mathop{=}}\,\angle CIN\equiv \angle LIN\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\vartriangle DIE\sim \vartriangle NIL\Rightarrow$
$\dfrac{NL}{DE}=\dfrac{IN}{DI}\overset{NI=NJ,DI=DJ(\sigma \upsilon \mu \mu \varepsilon \tau \rho \iota \alpha )}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{NL}{DE}=\dfrac{JN}{DJ}:\left( 2 \right)$
Προφανώς

διχοτομεί την εξωτερική (ως κάθετη στην εσωτερική διχοτόμο) γωνία του ισοσκελούς τριγώνου $\vartriangle DIJ$ και συνεπώς $\angle TDE=\angle EDI\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{=}}\,\angle INL\overset{\left( 2 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\vartriangle DEJ\sim \vartriangle NLJ\Rightarrow$ $\angle DEJ=\angle NLJ\overset{NL\parallel IB}{\mathop{=}}\,\angle IBJ\equiv \angle DBJ\Rightarrow B,E,D,J$ ομοκυκλικά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Ομοκυκλικά από συμμετρία

Ομοκυκλικά από συμμετρία

Re: Ομοκυκλικά από συμμετρία

Re: Ομοκυκλικά από συμμετρία

Re: Ομοκυκλικά από συμμετρία

Μέλη σε σύνδεση