Τομή κύκλων σε ευθεία 2
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Τομή κύκλων σε ευθεία 2
Ας είναι τα μέσα των πλευρών τριγώνου περιγεγραμμένου σε κύκλο και ας είναι τυχόν σημείο της εφαπτόμενης του στο . Αν είναι οι κύκλοι που διέρχονται από τα και και εφάπτονται των στα αντίστοιχα, να δειχθεί ότι το ένα από τα σημεία τομής τους (έστω όπως φαίνεται στο σχήμα) ανήκει στην
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Τομή κύκλων σε ευθεία 2
Επαναφορά
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Τομή κύκλων σε ευθεία 2
Έστω , το σημείο τομής της πλευράς του δοσμένου τριγώνου , από τον κύκλο έστω χορδής όπου είναι το μέσον της , ο οποίος εφάπτεται της ευθείας , με τυχόν σημείο επί της ευθείας , εφαπτομένης του περίκυκλου του .ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Δευ Νοέμ 22, 2021 6:37 pmΑς είναι τα μέσα των πλευρών τριγώνου περιγεγραμμένου σε κύκλο και ας είναι τυχόν σημείο της εφαπτόμενης του στο . Αν είναι οι κύκλοι που διέρχονται από τα και και εφάπτονται των στα αντίστοιχα, να δειχθεί ότι το ένα από τα σημεία τομής τους (έστω όπως φαίνεται στο σχήμα) ανήκει στην
Αρκεί ως ισοδύναμο ζητούμενο να αποδειχθεί ότι η ευθεία , όπου είναι το μέσον της , εφάπτεται στον περίκυκλο έστω του τριγώνου .
Έστω το σημείο και από έχουμε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο έστω .
Έστω το σημείο και έχουμε ότι το σημείο ταυτίζεται με το Σημείο Miquel στο πλήρες τετράπλευρο και άρα, ο περίκυκλος του τριγώνου περνάει από το σημείο και επομένως, το σημείο ανήκει στον κύκλο .
Από τώρα, προκύπτει ότι η ευθεία εφάπτεται στον περίκυκλο έστω του τριγώνου . Έστω το σημείο και έχουμε ότι το τετράπλευρο είναι τραπέζιο γιατί η ευθεία περνάει από το μέσον έστω του τμήματος .
Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα, η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο , τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου κατα το Σημείο Miquel στο πλήρες τετράπλευρο .
Το σημείο δηλαδή, ταυτίζεται με το Σημείο Miquel του και άρα, το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και επομένως ισχύει
Από
Από συμπεραίνεται ότι η ευθεία εφάπτεται του κύκλου και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
ΛΗΜΜΑ. Δίνεται τραπέζιο με και έστω τα σημεία και και ας είναι , το δεύτερο εκτός του σημείο τομής των περικύκλων των τριγώνων . Αποδείξτε ότι .
Η απόδειξη αυτή αφιερώνεται σε ένδειξη τιμής, στον ταλαντούχο μαθητή Ορέστη Λιγνό, που μας κάνει περήφανους με τις επιδόσεις του στα Μαθηματικά και τις επιτυχίες του στους διαγωνισμούς.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου για το ως άνω Λήμμα.
Re: Τομή κύκλων σε ευθεία 2
Για το λήμμα μπορείτε να δείτε
https://artofproblemsolving.com/community/c6h175434
και
https://artofproblemsolving.com/communi ... 20p1484879 (ΒΜΟ 2009).
https://artofproblemsolving.com/community/c6h175434
και
https://artofproblemsolving.com/communi ... 20p1484879 (ΒΜΟ 2009).
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Τομή κύκλων σε ευθεία 2
Από τα εγγράψιμα τετράπλευρα έχουμε και
Από προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι όμοια και άρα, έχουμε
Έστω , οι προβολές του σημείου επί των , αντιστοίχως.
Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα έχουμε
Από και
Από προκύπτει ότι η ευθεία ταυτίζεται με την -συμμετροδιάμεσο του τριγώνου .
Η ευθεία όμως, περνάει από τα μέσα των βάσεων του δοσμένου τραπεζίου και άρα, ταυτίζεται με την -διάμεσο του .
Συμπεραίνεται έτσι ότι και το Λήμμα έχει αποδειχθεί.
Για τον συσχετισμό του Λήμματος με το πρόβλημα που έβαλε ο Στάθης, από λόγω του εγγραψίμου τετραπλεύρου και λόγω της , προκύπτει ότι η ευθεία εφάπτεται στον περίκυκλο του τριγώνου και ομοίως, η ευθεία εφάπτεται στον περίκυκλο του τριγώνου .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Τα παραπάνω είναι μία αναλυτική περιγραφή της συνοπτικής απόδειξης που οφείλεται στον Leonard Euler ( ψευδώνυμο ) και πρωτοεμφανίζεται στην πρώτη παραπομπή που μας έδωσε ο Σιλουανός.
Το πρόβλημα αυτό απέκτησε δημοσιότητα αφότου προτάθηκε ως θέμα στη Βαλκανική Ολυμπιάδα του έτους 2009 και η επίσημη λύση που δίνεται Εδώ ( σελίδες 10-11 ), είναι στην ουσία ίδια με την παραπάνω, "γαρνιρισμένη" με αρκετή Τριγωνομετρία.
Σιλουανέ, σ' ευχαριστώ θερμά για τις παραπομπές και ιδιαίτερα για την δεύτερη όπου αναφέρεις την εμφάνιση του προβλήματος στο AoPS δύο χρόνια νωρίτερα από την Βαλκανιάδα, υπενθυμίζοντας την ελληνική συνεισφορά στην δημιουργία του.
Re: Τομή κύκλων σε ευθεία 2
Στάθη, το αρχικό πρόβλημα είναι δική σου κατασκευής; Αν όχι, ποια είναι η πηγή του;
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Τομή κύκλων σε ευθεία 2
Σιλουανέ καλησπέρα και καλή χρονιά με υγεία και δημιουργία
Το πρόβλημα αυτό όπως και τα περισσότερα από αυτά που έχω αναρτήσει τελευταία είναι από την ιστοσελίδα του Jean Luis Ayme από εδώ
Αυτή τη στιγμή μου είναι δύσκολο να το ξαναβρώ αλλά είναι εκεί . Θα το ψάξω κάποια στιγμή και θα το βγάλω στην επιφάνεια. Από ότι θυμάμαι έχει και λύση (σίγουρα δεν είναι αυτή του Κώστα του Βήττα!!!)
Μια ενδιαφέρουσα παρατήρηση για να λυθεί άμεσα το πρόβλημα είναι ότι αν είναι το άλλο σημείο τομής των δύο μικρών κύκλων τότε η είναι η πολική του συμμετρικού του ως προς το ως προς τον και τελειώσαμε. Το ψάχνω κάπως έτσι αλλά ακόμα δεν έχω καταλήξει.
Δεν γνωρίζω τη λύση που έχει δώσει ο Γάλλος Θρύλος Γεωμέτρης
τελευταία επεξεργασία από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ σε Δευ Ιαν 10, 2022 6:35 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Re: Τομή κύκλων σε ευθεία 2
Δείτε και εδώ (μάλλον από κει το πήρε και ο Γάλλος) https://artofproblemsolving.com/communi ... 7p11419585
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Τομή κύκλων σε ευθεία 2
Μίνο, σ' ευχαριστούμε για την παραπομπή.
Όντως, ο Jean-Louis Ayme από το AoPS πρέπει να πήρε το πρόβλημα και παραπέμπει στην ιστοσελίδα του όπου δίνει την δική του συνθετική απόδειξη, ως υπέρμαχος αυτού του τρόπου σκέψης.
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Doc ... 20cote.pdf
Στο AoPS βέβαια, γίνεται χαμός με αυτό το πρόβλημα και με ένα γρήγορο ρολάρισμα βλέπω ότι ίσως δεν έχω πέσει πάνω σε κάποια από τις εμφανιζόμενες λύσεις. Δεν έχω το κουράγιο να το ψάξω σε τόσες πολλές αναρτήσεις. Εάν δείτε κάτι σχετικό με αυτά που γράφω, πείτε μου.
Από τα σχήματα της λύσης του Jean-Louis, φαίνεται να υπάρχει κάποια συγγένεια με την απόδειξη που παρουσίασα πιο πάνω. Θα το κοιτάξω με λεπτομέρεια (*) και ας είναι στα γαλλικά. Εάν έχεις υπομονή δεν υπάρχει θέμα, καταλαβαίνεις πλήρως το κείμενο έτσι όπως παρουσιάζεται στα άρθρα του.
Όπως είπα και στον Στάθη, δεν είναι και τόσο τρομερό, το να πέσει κάποιος πάνω σε γνωστή απόδειξη. Όπως γράφω και αλλού, δεν μειώνεται το αίσθημα ικανοποίησης του λύτη, υπάρχει όμως μια "γλυκειά" στενοχώρια όταν διαπιστώνεις ότι τελικά δεν έχει προκύψει κάτι διαφορετικό.
Κώστας Βήττας.
(*) (11-01-2022) Οι αποδείξεις διαφέρουν τελικά.
Όντως, ο Jean-Louis Ayme από το AoPS πρέπει να πήρε το πρόβλημα και παραπέμπει στην ιστοσελίδα του όπου δίνει την δική του συνθετική απόδειξη, ως υπέρμαχος αυτού του τρόπου σκέψης.
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Doc ... 20cote.pdf
Στο AoPS βέβαια, γίνεται χαμός με αυτό το πρόβλημα και με ένα γρήγορο ρολάρισμα βλέπω ότι ίσως δεν έχω πέσει πάνω σε κάποια από τις εμφανιζόμενες λύσεις. Δεν έχω το κουράγιο να το ψάξω σε τόσες πολλές αναρτήσεις. Εάν δείτε κάτι σχετικό με αυτά που γράφω, πείτε μου.
Από τα σχήματα της λύσης του Jean-Louis, φαίνεται να υπάρχει κάποια συγγένεια με την απόδειξη που παρουσίασα πιο πάνω. Θα το κοιτάξω με λεπτομέρεια (*) και ας είναι στα γαλλικά. Εάν έχεις υπομονή δεν υπάρχει θέμα, καταλαβαίνεις πλήρως το κείμενο έτσι όπως παρουσιάζεται στα άρθρα του.
Όπως είπα και στον Στάθη, δεν είναι και τόσο τρομερό, το να πέσει κάποιος πάνω σε γνωστή απόδειξη. Όπως γράφω και αλλού, δεν μειώνεται το αίσθημα ικανοποίησης του λύτη, υπάρχει όμως μια "γλυκειά" στενοχώρια όταν διαπιστώνεις ότι τελικά δεν έχει προκύψει κάτι διαφορετικό.
Κώστας Βήττας.
(*) (11-01-2022) Οι αποδείξεις διαφέρουν τελικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Τομή κύκλων σε ευθεία 2
Βάζω μία λύση με black magic.
Έστω Τ η δεύτερη τομή του κύκλου (Ιb) με την πλευρά BC. Θα δείξουμε ότι .
Από νόμο των ημιτόνων κλπ
Ομοίως
Από τις
Επιπλέον
Οπότε από
Εξάλλου,
Ακόμα έχουμε
Εξάλλου,
Συνεπώς από τις σχέσεις
Από και έπεται ότι , όπως θέλαμε.
Υ.Σ Ωραίο θέμα, αλλά υπερβολικά δύσκολο για γεωμετρική λύση. Γι αυτό εξάλλου αποτελεί και ένα θέμα ΒΜΟ.
Έστω Τ η δεύτερη τομή του κύκλου (Ιb) με την πλευρά BC. Θα δείξουμε ότι .
Από νόμο των ημιτόνων κλπ
Ομοίως
Από τις
Επιπλέον
Οπότε από
Εξάλλου,
Ακόμα έχουμε
Εξάλλου,
Συνεπώς από τις σχέσεις
Από και έπεται ότι , όπως θέλαμε.
Υ.Σ Ωραίο θέμα, αλλά υπερβολικά δύσκολο για γεωμετρική λύση. Γι αυτό εξάλλου αποτελεί και ένα θέμα ΒΜΟ.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες