mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 02, 2021 2:01 pm**

: Μετρική τριγώνου από τομή.png (16.75 KiB) Προβλήθηκε 1128 φορές

Έστω τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και τα κοινά σημεία επαφής του περίκυκλού του από τις εφαπτόμενες που διέρχονται από τυχόν σημείο της προέκτασης της ς προς το . Να δειχτεί ότι αν είναι το σημείο τομής των , θα ισχύει : ${{a}^{2}}\cdot \dfrac{ZA}{ZC}+{{b}^{2}}\cdot \dfrac{XB}{XC}={{c}^{2}}$ , όπου τα μήκη των πλευρών του τριγώνου $\vartriangle ABC$ με τους συνήθης συμβολισμούς

Στάθης

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 02, 2021 7:54 pm**

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 02, 2021 2:01 pm
Μετρική τριγώνου από τομή.png
Έστω τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και τα κοινά σημεία επαφής του περίκυκλού του από τις εφαπτόμενες που διέρχονται από τυχόν σημείο της προέκτασης της ς προς το . Να δειχτεί ότι αν είναι το σημείο τομής των , θα ισχύει : ${{a}^{2}}\cdot \dfrac{ZA}{ZC}+{{b}^{2}}\cdot \dfrac{XB}{XC}={{c}^{2}}$ , όπου τα μήκη των πλευρών του τριγώνου $\vartriangle ABC$ με τους συνήθης συμβολισμούς

Στάθης

Καλησπέρα Στάθη!

Ίδια αντιμετώπιση με αυτήν . Αύριο η πλήρης λύση, αν δεν έχει απαντηθεί μέχρι τότε.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 02, 2021 11:48 pm**

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 02, 2021 7:54 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 02, 2021 2:01 pm
Μετρική τριγώνου από τομή.png
Έστω τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και τα κοινά σημεία επαφής του περίκυκλού του από τις εφαπτόμενες που διέρχονται από τυχόν σημείο της προέκτασης της ς προς το . Να δειχτεί ότι αν είναι το σημείο τομής των , θα ισχύει : ${{a}^{2}}\cdot \dfrac{ZA}{ZC}+{{b}^{2}}\cdot \dfrac{XB}{XC}={{c}^{2}}$ , όπου τα μήκη των πλευρών του τριγώνου $\vartriangle ABC$ με τους συνήθης συμβολισμούς

Στάθης
Καλησπέρα Στάθη!

Ίδια αντιμετώπιση με αυτήν . Αύριο η πλήρης λύση, αν δεν έχει απαντηθεί μέχρι τότε.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 03, 2021 9:24 am**

thepigod762 έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 02, 2021 11:48 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 02, 2021 7:54 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 02, 2021 2:01 pm
Μετρική τριγώνου από τομή.png
Έστω τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και τα κοινά σημεία επαφής του περίκυκλού του από τις εφαπτόμενες που διέρχονται από τυχόν σημείο της προέκτασης της ς προς το . Να δειχτεί ότι αν είναι το σημείο τομής των , θα ισχύει : ${{a}^{2}}\cdot \dfrac{ZA}{ZC}+{{b}^{2}}\cdot \dfrac{XB}{XC}={{c}^{2}}$ , όπου τα μήκη των πλευρών του τριγώνου $\vartriangle ABC$ με τους συνήθης συμβολισμούς

Στάθης
Καλησπέρα Στάθη!

Ίδια αντιμετώπιση με αυτήν . Αύριο η πλήρης λύση, αν δεν έχει απαντηθεί μέχρι τότε.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Κρύβω επειδή δεν παραθέτω απάντηση, απλά κ. Γιώργο νομίζω πως εφαρμόζοντας τα βήματα με βάση αυτήν, δηλαδή λαμβάνοντας υπόψιν την ισότητα $XD^{2}=XE^{2}=XB\cdot XC$ και χρησιμοποιώντας νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο , με $\cos C=\frac{a^{2}-c^{2}-b^{2}}{2ab}$ , από το τρίγωνο , και θεώρημα Steward στο τρίγωνο καταλήγουμε στην σχέση
$XZ^{2}\cdot DE+XB\cdot XC\cdot ZD=XB\cdot XC\cdot ZE+ZD\cdot DE\cdot ZE\Rightarrow XC^{2}+ZC^{2}+2\cdot XC\cdot ZC\cdot \left \frac{c^{2}-a^{2}-b^{2}}{2ab} \right =XB\cdot XC+ZA\cdot ZC\Rightarrow c^{2}=a^{2}+b^{2}+\frac{(XB-XC)XC+(ZA-ZC)}{XC\cdot ZC}ab$
,το οποίο γίνεται $c^{2}=a^{2}+b^{2}+(\frac{XB-XC}{ZC}+\frac{ZA-ZC}{XC})ab$
,που δεν ισοδυναμεί απαραίτητα με το ζητούμενο... Τι κάνω λάθος ή τι δεν έχω συμπεριλάβει;

Δεν έχεις κάνει λάθος (εκτός από τυπογραφικό στον τύπο του συνημιτόνου. Στην εφαρμογή του όμως είναι σωστό). Απλώς δεν το έχεις συνεχίσει. XB-XC=-a, ZA-ZC=-b.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 03, 2021 10:30 am**

Θέτω

και η αποδεικτέα σχέση γράφεται $\displaystyle {a^2} \cdot \frac{y}{{b + y}} + {b^2} \cdot \frac{x}{{a + x}} = {c^2}$

: ΣΚ.2.png (13.86 KiB) Προβλήθηκε 960 φορές

Όπως και εδώ είναι $\displaystyle X{D^2} = X{E^2} = x(x + a),$ με νόμο συνημιτόνου στο ZXC

παίρνω

$\displaystyle X{Z^2} = {(a + x)^2} + {(b + y)^2} - (a + x)(b + y) \cdot \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{ab}}$ και με Stewart στο ZXE

$\displaystyle X{Z^2} \cdot DE + x(x + a)ZD = x(x + a)ZE + ZD \cdot ZE \cdot DE \Leftrightarrow$

$\displaystyle X{Z^2} \cdot DE = x(x + a)DE + y(b + y)DE \Leftrightarrow X{Z^2} = {x^2} + {y^2} + ax + by$

Τέλος με αντικατάσταση καταλήγω στην εξίσωση $\displaystyle {a^2} + {b^2} - \left( {\frac{{{a^2}b}}{{b + y}} + \frac{{a{b^2}}}{{a + x}}} \right) = {c^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{{a^2} \cdot \frac{y}{{b + y}} + {b^2} \cdot \frac{x}{{a + x}} = {c^2}}$

ΥΓ.Όποιος μου ζητήσει τις ενδιάμεσες πράξεις, ευχαρίστως να τις γράψω.

mathematica.gr

Μετρική από τομές ...

Μετρική από τομές ...

Re: Μετρική από τομές ...

Re: Μετρική από τομές ...

Re: Μετρική από τομές ...

Re: Μετρική από τομές ...