Εφαπτόμενοι κύκλοι...
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Εφαπτόμενοι κύκλοι...
Θεωρούμε επίσης τα σημεία , , , .
Να αποδείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων και εφάπτονται.
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι...
Σημείωση : την δεν έπρεπε να την φερεις στο σχήμα γιατί " προδίδει " τη λύσηgiannimani έγραψε: ↑Πέμ Οκτ 28, 2021 9:46 pmtang_cir.pngΣτο εγγεγραμμένο σε κύκλο τετράπλευρο , τα σημεία και είναι τα μέσα των πλευρών και αντίστοιχα.
Θεωρούμε επίσης τα σημεία , , , .
Να αποδείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων και εφάπτονται.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι...
Έστω το σημείο Miquel του πλήρους τετραπλεύρου . Επειδή ο «κορμός» του είναι τετράπλευρο εγγεγραμμένο στον κύκλο μια από τις ιδιότητές του εδώ είναι ότι και και επι πλέον από τις προφανείς καθετότητες (λόγω αποστημάτων) προκύπτει ότι τα σημεία είναι σημεία κύκλου (έστω ) διαμέτρου και συνεπώς ο περίκυκλος του τριγώνου διέρχεται (και) από το .giannimani έγραψε: ↑Πέμ Οκτ 28, 2021 9:46 pmtang_cir.pngΣτο εγγεγραμμένο σε κύκλο τετράπλευρο , τα σημεία και είναι τα μέσα των πλευρών και αντίστοιχα.
Θεωρούμε επίσης τα σημεία , , , .
Να αποδείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων και εφάπτονται.
Επι πλέον έχουμε:
ομοκυκλικά άρα
ομοκυκλικά άρα
ομοκυκλικά και συνεπώς και ο περίκυκλος του τριγώνου διέρχεται από το Οι περίκυκλοι λοιπόν των τριγώνων και έχουν κοινό σημείο το και επί πλέον
και επειδή τα σημεία είναι συνευθειακά προκύπτει ότι και τα σημεία είναι συνευθειακά , άρα οι περίκυκλοι των τριγώνων και εφάπτονται ( έχουν κοινό σημείο που ανήκει στη διάκεντρό τους) και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί .
Γιάννη , την παρακάμψαμε πάλι τη συμμετροδιάμεσο και συνεπώς και τις ομοιότητες
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι...
Καλησπέρα σας.
Μία ακόμη λύση για το πρόβλημα:
Αρχικά φέρουμε τους περιγεγραμμένους κύκλους των τριγώνων , , και .
Εύκολα προκύπτει ότι όλοι οι παραπάνω κύκλοι συντρέχουν στο σημείο Miquel του πλήρους τετραπλεύρου , έστω
το οποίο θα ανήκει στην ευθεία εφόσον τα σημεία , , , είναι ομοκυκλικά.
Ισχυριζόμαστε πως το είναι το ζητούμενο σημείο επαφής.
Εφαρμόζουμε τον μετσχηματισμό της σπειροειδούς ομοιότητας (σύνθεση στροφής με κέντρο το και γωνία και ομοιοθεσίας με λόγο ) που στέλνει το στο και το στο , άρα μεταφέρει το τρίγωνο στο τρίγωνο .
Ισχυρισμός 1: Τα σημεία , , , είναι ομοκυκλικά.
Απόδειξη: Ισχύει: (από το εγγεγραμμένο )
(από το εγγράψιμο )
H είναι εξωτερική της στο τρίγωνο άρα
Ακόμη, είναι
Από το εγγράψιμο τετράπλευρο λαμβάνουμε:
Ισχύει: και
Όμως τα τρίγωνα και είναι όμοια άρα
Επομένως το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. Συνεπώς:
Έτσι , δηλαδή το ανήκει στον
Ισχυρισμός 2: Τα σημεία ,, και είναι ομοκυκλικά.
Απόδειξη: Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο έχουμε:
Από το εγγράψιμο ισχύει . Άρα
έτσι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Έτσι: . άρα
Συνεπώς το ανήκει στον
Ισχυρισμός 3: Οι κύκλοι και εφάπτονται στο .
Απόδειξη:
Ισχύει:
Ακόμη, και .
Εφόσον, όμως, έχουμε
άρα τα σημεία , , και είναι ομοκυκλικά.
Άρα
Παρατηρούμε ότι
Επομένως .
Το ζητούμενο έπεται.
Μία ακόμη λύση για το πρόβλημα:
Αρχικά φέρουμε τους περιγεγραμμένους κύκλους των τριγώνων , , και .
Εύκολα προκύπτει ότι όλοι οι παραπάνω κύκλοι συντρέχουν στο σημείο Miquel του πλήρους τετραπλεύρου , έστω
το οποίο θα ανήκει στην ευθεία εφόσον τα σημεία , , , είναι ομοκυκλικά.
Ισχυριζόμαστε πως το είναι το ζητούμενο σημείο επαφής.
Εφαρμόζουμε τον μετσχηματισμό της σπειροειδούς ομοιότητας (σύνθεση στροφής με κέντρο το και γωνία και ομοιοθεσίας με λόγο ) που στέλνει το στο και το στο , άρα μεταφέρει το τρίγωνο στο τρίγωνο .
Ισχυρισμός 1: Τα σημεία , , , είναι ομοκυκλικά.
Απόδειξη: Ισχύει: (από το εγγεγραμμένο )
(από το εγγράψιμο )
H είναι εξωτερική της στο τρίγωνο άρα
Ακόμη, είναι
Από το εγγράψιμο τετράπλευρο λαμβάνουμε:
Ισχύει: και
Όμως τα τρίγωνα και είναι όμοια άρα
Επομένως το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. Συνεπώς:
Έτσι , δηλαδή το ανήκει στον
Ισχυρισμός 2: Τα σημεία ,, και είναι ομοκυκλικά.
Απόδειξη: Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο έχουμε:
Από το εγγράψιμο ισχύει . Άρα
έτσι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Έτσι: . άρα
Συνεπώς το ανήκει στον
Ισχυρισμός 3: Οι κύκλοι και εφάπτονται στο .
Απόδειξη:
Ισχύει:
Ακόμη, και .
Εφόσον, όμως, έχουμε
άρα τα σημεία , , και είναι ομοκυκλικά.
Άρα
Παρατηρούμε ότι
Επομένως .
Το ζητούμενο έπεται.
Ματθαίος Κουκλέρης
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι...
Οι τετράδες των ευθειών που προκύπτουν από τις πέντε ευθείες , , , , και
έχουν το ίδιο σημείο Miquel (Σημείο Miquel πέντε ευθειών). Αυτό προκύπτει από το επόμενο λήμμα:
Τα σηµεία και κινούνται µε σταθερές ταχύτητες (όχι κατ' ανάγκη ίσες) σε δύο
σταθερές ευθείες που τέµνονται στο σηµείο . Τότε, ο περιγεγραµµένος κύκλος
του τριγώνου , διέρχεται από δύο σταθερά σηµεία και , όπου το είναι
το κέντρο της σπειροειδούς οµοιότητας που μετασχηματίζει τα σηµεία στα σηµεία .
Ως σταθερές ευθείες θεωρούμε τις και που τέμνονται στο . Αρχική θέση των σημείων και
είναι τα και αντίστοιχα. Μετά χρόνο , έστω ότι τα σημεία θα βρίσκονται στις θέσεις και αντίστοιχα,
και μετά χρόνο θα βρίσκονται στις θέσεις και (τα και μέσα των και ).
Τότε, το σημείο Miquel για τις ευθείες , , , και για τις ευθείες , , , είναι το ίδιο.
Εύκολα τώρα, προκύπτει ότι και οι υπόλοιπες τετράδες των ευθειών που σχηματίζονται από τις πέντε ευθείες
έχουν το ίδιο σημείο Miquel . Εφόσον το τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο , σύμφωνα με γνωστές
ιδιότητες του σημείου Miquel, είναι και , και το σημείο τομής
των διαγωνίων του τετραπλεύρου είναι το ορθόκεντρο του .
Οι κύκλοι , που θέλουμε να αποδείξουμε ότι εφάπτονται, είναι περιγεγραμμένοι κύκλοι
τριγώνων που σχηματίζονται από τρεις εκ των παραπάνω πέντε ευθειών ο καθένας.
Επομένως, διέρχονται από το κοινό σημείο Miquel, δηλαδή, από το . Θεωρούμε επίσης,
και τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου που σχηματίζουν οι ευθείες
, και . Οι τρεις αυτές ευθείες είναι οι κοινές ευθείες των τετράδων , , ,
(οι ευθείες , , σχηματίζουν το τρίγωνο ) και , , , (οι ευθείες , ,
σχηματίζουν το τρίγωνο )
Τώρα, θεωρούμε τον κύκλο διαμέτρου κέντρου . Ο κύκλος αυτός διέρχεται προφανώς από το ,
και είναι ορθογώνιος του κύκλου . Πράγματι, από τα ισοσκελή τρίγωνα και
είναι (από το ορθογώνιο τρίγωνο ).
Επομένως, , οπότε η ακτίνα εφαπτομένη του κύκλου στο .
Αρκεί να αποδείξουμε ότι η εφαπτομένη του και κύκλου .
Πράγματι, (κατά κορυφήν) (γωνία χορδή-εφαπτομένη) (εγγεγραμμένες γωνίες στο ίδιο τόξο)
(εξωτερική ίση με την απέναντι εσωτερική σε εγγεγραμμένο τετράπλευρο), που αποδεικνύει τον τελευταίο ισχυρισμό.
(*) Για τη δικαιολόγηση του σχήματος, δηλαδή, το ότι το κέντρο ανήκει στην ευθεία προκύπτει
από το θεώρημα Gauss στο τρίγωνο με τέμνουσα των πλευρών του την ευθεία .
Τα μέσα , και των τμημάτων , και αντίστοιχα, ανήκουν στην ίδια ευθεία.
(**) Για τις γνωστές ιδιότητες του σημείου Miquel στην παραπομπή που έδωσε ο Στάθης.
έχουν το ίδιο σημείο Miquel (Σημείο Miquel πέντε ευθειών). Αυτό προκύπτει από το επόμενο λήμμα:
Τα σηµεία και κινούνται µε σταθερές ταχύτητες (όχι κατ' ανάγκη ίσες) σε δύο
σταθερές ευθείες που τέµνονται στο σηµείο . Τότε, ο περιγεγραµµένος κύκλος
του τριγώνου , διέρχεται από δύο σταθερά σηµεία και , όπου το είναι
το κέντρο της σπειροειδούς οµοιότητας που μετασχηματίζει τα σηµεία στα σηµεία .
Ως σταθερές ευθείες θεωρούμε τις και που τέμνονται στο . Αρχική θέση των σημείων και
είναι τα και αντίστοιχα. Μετά χρόνο , έστω ότι τα σημεία θα βρίσκονται στις θέσεις και αντίστοιχα,
και μετά χρόνο θα βρίσκονται στις θέσεις και (τα και μέσα των και ).
Τότε, το σημείο Miquel για τις ευθείες , , , και για τις ευθείες , , , είναι το ίδιο.
Εύκολα τώρα, προκύπτει ότι και οι υπόλοιπες τετράδες των ευθειών που σχηματίζονται από τις πέντε ευθείες
έχουν το ίδιο σημείο Miquel . Εφόσον το τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο , σύμφωνα με γνωστές
ιδιότητες του σημείου Miquel, είναι και , και το σημείο τομής
των διαγωνίων του τετραπλεύρου είναι το ορθόκεντρο του .
Οι κύκλοι , που θέλουμε να αποδείξουμε ότι εφάπτονται, είναι περιγεγραμμένοι κύκλοι
τριγώνων που σχηματίζονται από τρεις εκ των παραπάνω πέντε ευθειών ο καθένας.
Επομένως, διέρχονται από το κοινό σημείο Miquel, δηλαδή, από το . Θεωρούμε επίσης,
και τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου που σχηματίζουν οι ευθείες
, και . Οι τρεις αυτές ευθείες είναι οι κοινές ευθείες των τετράδων , , ,
(οι ευθείες , , σχηματίζουν το τρίγωνο ) και , , , (οι ευθείες , ,
σχηματίζουν το τρίγωνο )
Τώρα, θεωρούμε τον κύκλο διαμέτρου κέντρου . Ο κύκλος αυτός διέρχεται προφανώς από το ,
και είναι ορθογώνιος του κύκλου . Πράγματι, από τα ισοσκελή τρίγωνα και
είναι (από το ορθογώνιο τρίγωνο ).
Επομένως, , οπότε η ακτίνα εφαπτομένη του κύκλου στο .
Αρκεί να αποδείξουμε ότι η εφαπτομένη του και κύκλου .
Πράγματι, (κατά κορυφήν) (γωνία χορδή-εφαπτομένη) (εγγεγραμμένες γωνίες στο ίδιο τόξο)
(εξωτερική ίση με την απέναντι εσωτερική σε εγγεγραμμένο τετράπλευρο), που αποδεικνύει τον τελευταίο ισχυρισμό.
(*) Για τη δικαιολόγηση του σχήματος, δηλαδή, το ότι το κέντρο ανήκει στην ευθεία προκύπτει
από το θεώρημα Gauss στο τρίγωνο με τέμνουσα των πλευρών του την ευθεία .
Τα μέσα , και των τμημάτων , και αντίστοιχα, ανήκουν στην ίδια ευθεία.
(**) Για τις γνωστές ιδιότητες του σημείου Miquel στην παραπομπή που έδωσε ο Στάθης.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες