Συμμετρικό σημείου τομής δύο κύκλων σε πλευρά τριγώνου
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Συμμετρικό σημείου τομής δύο κύκλων σε πλευρά τριγώνου
του τριγώνου , τέμνει τις πλευρές , και τον περιγεγραμμένο κύκλο στα σημεία
, και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό του σημείου ως προς την ευθεία ,
ανήκει στην πλευρά .
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Συμμετρικό σημείου τομής δύο κύκλων σε πλευρά τριγώνου
giannimani έγραψε: ↑Τρί Οκτ 19, 2021 9:37 pmsym_of_intersec.pngΈνας κύκλος , που διέρχεται από την κορυφή και το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου
του τριγώνου , τέμνει τις πλευρές , και τον περιγεγραμμένο κύκλο στα σημεία
, και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό του σημείου ως προς την ευθεία ,
ανήκει στην πλευρά .
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Συμμετρικό σημείου τομής δύο κύκλων σε πλευρά τριγώνου
Επειδή πρέπει να λείψω για 2 μέρες (χωρίς υπολογιστή στις Βρυξέλλες) ας βάλω τη λύση τώρα μετά συγχωρήσεωςgiannimani έγραψε: ↑Τρί Οκτ 19, 2021 9:37 pmsym_of_intersec.pngΈνας κύκλος , που διέρχεται από την κορυφή και το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου
του τριγώνου , τέμνει τις πλευρές , και τον περιγεγραμμένο κύκλο στα σημεία
, και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό του σημείου ως προς την ευθεία ,
ανήκει στην πλευρά .
Έστω το σημείο τομής της εκ του καθέτου προς την και . Τότε από και προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι όμοια και με προκύπτει ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές (εξωτερική ίση με διπλάσια μιας απέναντι εσωτερικής) και συνεπώς και το τρίγωνο (όμοιο του ) είναι ισοσκελές , άρα . Από «χαρταετός» και συνεπώς μεσοκάθετη της και διχοτόμος της
Από
Εύκολα προκύπτει ότι (ως άθροισμα (ή διαφορά) ανάλογα το σχήμα ίσων γωνιών)
Επίσης
Από σημείο του κύκλου μεσοκάθετη της και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Συμμετρικό σημείου τομής δύο κύκλων σε πλευρά τριγώνου
Συμβολίζουμε με τον περιγεγραμμένο κύκλο του . Έστω το αντιδιαμετρικό του .
Οι κύκλοι και τέμνονται στα σημεία και .
Δύο ευθείες που διέρχονται από τα και τέμνουν τους κύκλους και στα σημεία
, και , αντίστοιχα. Σύμφωνα με το θεώρημα Reim .
Από το ορθογώνιο τρίγωνο προκύπτει ότι , οπότε και ,
δηλαδή, η μεσοκάθετος του , κι επομένως, . Όμοια, .
Τώρα, αν το συμμετρικό του ως προς την ευθεία , τότε
και (λόγω των (1) και (2) ).
Επομένως, τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή με κορυφές τα , αντίστοιχα.
Ως εκ τούτου, και .
Επίσης, από τα ισοσκελή τρίγωνα και έχουμε
και , και με πρόσθεση κατά μέλη (για την περίπτωση του σχήματος)
προκύπτει ότι . Αλλά, από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο στον κύκλο
.
Τελικά, , δηλαδή,
το σημείο ανήκει στην πλευρά .
Θεώρηµα Reim: Οι κύκλοι , τέµνονται στα σηµεία M, N, και η ευθεία διέρχεται από το M,
και τέµνει τους , στα σημεία , αντίστοιχα. Έστω , σημεία των , αντίστοιχα. Τότε,
, αν και μόνο αν, τα σημεία , , ανήκουν στην ίδια ευθεία .
Οι κύκλοι και τέμνονται στα σημεία και .
Δύο ευθείες που διέρχονται από τα και τέμνουν τους κύκλους και στα σημεία
, και , αντίστοιχα. Σύμφωνα με το θεώρημα Reim .
Από το ορθογώνιο τρίγωνο προκύπτει ότι , οπότε και ,
δηλαδή, η μεσοκάθετος του , κι επομένως, . Όμοια, .
Τώρα, αν το συμμετρικό του ως προς την ευθεία , τότε
και (λόγω των (1) και (2) ).
Επομένως, τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή με κορυφές τα , αντίστοιχα.
Ως εκ τούτου, και .
Επίσης, από τα ισοσκελή τρίγωνα και έχουμε
και , και με πρόσθεση κατά μέλη (για την περίπτωση του σχήματος)
προκύπτει ότι . Αλλά, από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο στον κύκλο
.
Τελικά, , δηλαδή,
το σημείο ανήκει στην πλευρά .
Θεώρηµα Reim: Οι κύκλοι , τέµνονται στα σηµεία M, N, και η ευθεία διέρχεται από το M,
και τέµνει τους , στα σημεία , αντίστοιχα. Έστω , σημεία των , αντίστοιχα. Τότε,
, αν και μόνο αν, τα σημεία , , ανήκουν στην ίδια ευθεία .
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Συμμετρικό σημείου τομής δύο κύκλων σε πλευρά τριγώνου
Θα χρησιμοποιήσουμε την παρακάτω κατασκευή (Caratheodory, Theory of functions of a complex variable) καθώς την επεξήγηση που την συνοδεύει, για την εικόνα της ρίζας ενός μιγαδικού αριθμού, ως λήμμα.
Αν μας δίνετε το μοναδιαίο τμήμα στο μιγαδικό επίπεδο και ένας μιγαδικός σε αυτό τότε η εικόνα του μιγαδικού δίνεται από την τομή του τμήματος με το κύκλο , όπου το μέσο του τόξου του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου και το αντιδιαμετρικό του ως προς αυτόν το κύκλο.
Στο προβλημά μας τώρα, εφαρμόζουμε το παραπάνω λήμμα με το μοναδιαίο τμήμα να αντιστοιχεί στην περίπτωσή μας στο και ο μιγαδικός στο σημείο .
Άρα θα έχουμε , σχέση δηλαδή επίκεντρης εγγεγραμμένης γωνίας. Επομένως . Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Ομοίως, , σχέση επέκεντρης εγγεγραμμένης γωνίας. Επομένως . Άρα και το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Εν τέλη, παρατηρούμε ότι
.
Άρα το σημείο ανήκει στην πλευρά .
Αν μας δίνετε το μοναδιαίο τμήμα στο μιγαδικό επίπεδο και ένας μιγαδικός σε αυτό τότε η εικόνα του μιγαδικού δίνεται από την τομή του τμήματος με το κύκλο , όπου το μέσο του τόξου του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου και το αντιδιαμετρικό του ως προς αυτόν το κύκλο.
Στο προβλημά μας τώρα, εφαρμόζουμε το παραπάνω λήμμα με το μοναδιαίο τμήμα να αντιστοιχεί στην περίπτωσή μας στο και ο μιγαδικός στο σημείο .
Άρα θα έχουμε , σχέση δηλαδή επίκεντρης εγγεγραμμένης γωνίας. Επομένως . Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Ομοίως, , σχέση επέκεντρης εγγεγραμμένης γωνίας. Επομένως . Άρα και το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Εν τέλη, παρατηρούμε ότι
.
Άρα το σημείο ανήκει στην πλευρά .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες