Ελάχιστο εμβαδόν

[silouan]

Με αφορμή αυτό το θέμα https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?t=66021
Δίνεται ένας ρόμβος πλευράς και ένα σημείο εντός αυτού. Κάθε ευθεία που περνά από το , χωρίζει τον ρόμβο σε δύο περιοχές, και , και ας πούμε ότι η έχει μικρότερο εμβαδόν από την . Για ποια θέση της ευθείας γίνεται το ελάχιστο;

[KARKAR]

Γκρίζα ζώνη.png (17.65 KiB) Προβλήθηκε 407 φορές

Έστω ο ρόμβος , το σημείο τομής των διαγωνίων του και τα μέσα των .

Θα ασχοληθούμε με τις περιπτώσεις που το βρίσκεται στο εσωτερικό του τραπεζίου ,

ή επί των . Κι αυτό διότι για το υπόλοιπο σχήμα - λόγω συμμετρίας - εργαζόμαστε ομοίως .

Ειδικά αν το συμπέσει με το κάθε ευθεία που διέρχεται απ' αυτό διχοτομεί τον ρόμβο .

Αν λοιπόν το βρίσκεται στο εσωτερικό του τότε , φέρουμε και θεωρούμε σημείο

της , ώστε : . Η είναι η ζητούμενη ευθεία ( δες τις αποδείξεις της παραπομπής ) .

Γκρίζα ζώνη 2.png (10.15 KiB) Προβλήθηκε 407 φορές

Αν το , βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου ή επί της , τότε η παράλληλη από το

προς την , δίνει το ελάχιστο εμβαδόν .

Γκρίζα ζώνη 3.png (14.33 KiB) Προβλήθηκε 407 φορές

Τέλος αν το βρίσκεται επί της , το ελάχιστο επιτυγχάνεται και με τους δύο τρόπους .