Εφαπτόμενες πλευρές
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Εφαπτόμενες πλευρές
ότι και ο κύκλος διαμέτρου εφάπτεται της αν και μόνο αν
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Εφαπτόμενες πλευρές
Ένα όμορφο θέμα για Α' Λυκείου νομίζω Γιώργο
Ας το επαναφέρουμε και βλέπουμε
Ας το επαναφέρουμε και βλέπουμε
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Re: Εφαπτόμενες πλευρές
Καλημέρα Γιώργο ,καλημέρα Στάθη και πολύχρονος με καθυστέρηση.......george visvikis έγραψε: ↑Πέμ Σεπ 09, 2021 10:08 amΕφαπτόμενες πλευρές.png
Σε κυρτό τετράπλευρο ο κύκλος διαμέτρου εφάπτεται της Να δείξετε
ότι και ο κύκλος διαμέτρου εφάπτεται της αν και μόνο αν
Για το ευθύ
Ισχύει ότι ο κύκλος εφάπτεται της στο σημείο και . Εστω θα αποδειχθεί ότι
Ειναι και το τετράπλευρο είναι εγράψιμο σε κύκλο άρα και τα τετράπλευρα είναι εγράψιμα αφού
Συνεπώς .
Αρα και ο κύκλος εφάπτεται στην
ΥΓ το αντίστροφο αύριο
Ισχύει ότι ο κύκλος εφάπτεται στη και ο κύκλος εφάπτεται στη
Θα αποδειχθεί ότι
Είναι
Αρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο
Από τα ορθογώνια τρίγωνα
και απο το θεώρημα χορδής -εφαπτομένης
Οπότε και τα τετράπλευρα είναι εγγράψιμα σε κύκλο .
Από το εγγράψιμο τετράπλευρο
και από το εγγράψιμο
Οπότε
Ομοίως
Συνεπώς
- Συνημμένα
-
- Εφαπτόμενες πλευρές -αντίστροφο.png (67.03 KiB) Προβλήθηκε 432 φορές
-
- Eφαπτόμενες ευθείες.png (81.48 KiB) Προβλήθηκε 513 φορές
τελευταία επεξεργασία από STOPJOHN σε Πέμ Σεπ 23, 2021 10:14 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Εφαπτόμενες πλευρές
Έστω και ο κύκλος διαμέτρου (κέντρου (το μέσο της ) εφάπτεται της στο σημείο (προφανώς και ). Αρκεί να δείξουμε ότι όπου η ορθή προβολή του μέσου της στην .george visvikis έγραψε: ↑Πέμ Σεπ 09, 2021 10:08 amΕφαπτόμενες πλευρές.png
Σε κυρτό τετράπλευρο ο κύκλος διαμέτρου εφάπτεται της Να δείξετε
ότι και ο κύκλος διαμέτρου εφάπτεται της αν και μόνο αν
Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου (λόγω των ορθών γωνιών…) και (διάμεσο «τραπεζίου»)
Άρα και συνεπώς τα τετράπλευρα είναι εγγράψιμα σε κύκλους οπότε:
και συνεπώς και ο κύκλος διαμέτρου εφάπτεται της
Αντιστρόφως: Έστω ότι στο κυρτό τετράπλευρο οι κύκλοι διαμέτρων εφάπτονται των στα σημεία αντίστοιχα.. Τότε τα τρίγωνα είναι ορθογώνια στα αντίστοιχα και με τα μέσα των αντίστοιχα και αρκεί να δειχθεί ότι
Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου (λόγω των ορθών γωνιών…) και τα τρίγωνα είναι ισοσκελή (λόγων των ορθογωνίων τριγώνων και των διαμέσων τους προς την υποτείνουσα)
Έτσι εγγράψιμο σε κύκλο και ομοίως και εγγράψιμο σε κύκλο , οπότε
αντιπαράλληλη της που είναι αντιπαράλληλη της , άρα και το αντίστροφο έχει αποδειχθεί.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Εφαπτόμενες πλευρές
Αφού ευχαριστήσω τον Στάθη και τον Γιάννη για τις λύσεις τους, να πω δυο λόγια για την πηγή. Η άσκηση έχει τεθεί σε διάφορους διαγωνισμούς.
Ήταν το 4ο πρόβλημα της 25ης Διεθνούς Μαθηματικής Ολυμπιάδας το 1984 που διεξήχθη στην Τσεχοσλαβακία και είχε προταθεί από τον Laurentiu Panaitopol.
Τέθηκε ξανά το 2015 στην Γερμανική Εθνική Ολυμπιάδα (5ο πρόβλημα).
Είδαμε ακόμα το πρώτο σκέλος (Αν το ABCD είναι τραπέζιο) στον δεύτερο γύρο του Εθνικού διαγωνισμού της Πολωνίας το 2018(4ο πρόβλημα).
Ήταν το 4ο πρόβλημα της 25ης Διεθνούς Μαθηματικής Ολυμπιάδας το 1984 που διεξήχθη στην Τσεχοσλαβακία και είχε προταθεί από τον Laurentiu Panaitopol.
Τέθηκε ξανά το 2015 στην Γερμανική Εθνική Ολυμπιάδα (5ο πρόβλημα).
Είδαμε ακόμα το πρώτο σκέλος (Αν το ABCD είναι τραπέζιο) στον δεύτερο γύρο του Εθνικού διαγωνισμού της Πολωνίας το 2018(4ο πρόβλημα).
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες