Εφαπτόμενοι κύκλοι

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ · #1

Μετά από καιρό...

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ABC

. Θεωρούμε τον παρεγγεγραμμένο κύκλο $I_{A}$ που αντιστοιχεί στην κορυφή

, ο οποίος εφάπτεται των πλευρών BC,CA,AB

στα σημεία D,E,F

αντίστοιχα. Ο κύκλος (AEF)

τέμνει τη

στα σημεία

και

. Έστω ακόμη

το μέσο της

.Αποδείξτε ότι ο $I_{A}$ εφάπτεται του (MPQ)

.

Δεν είναι δική μου.

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 17, 2021 12:17 am
Μετά από καιρό...

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο . Θεωρούμε τον παρεγγεγραμμένο κύκλο $I_{A}$ που αντιστοιχεί στην κορυφή , ο οποίος εφάπτεται των πλευρών στα σημεία αντίστοιχα. Ο κύκλος τέμνει τη στα σημεία και . Έστω ακόμη το μέσο της .Αποδείξτε ότι ο $I_{A}$ εφάπτεται του .

Δεν είναι δική μου.

Καλησπέρα...

Ας δούμε το πρώτο σχήμα:

: Επαφή κύκλων 1.png (35.59 KiB) Προβλήθηκε 760 φορές

Στο σχήμα αυτό φαίνεται το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ , ο παρεγγεγραμμένος κύκλος $\displaystyle{(C_1)}$ στη γωνία $\displaystyle{\hat{A}}$ και ο περιγεγραμμένος

κύκλος $\displaystyle{(C_2)}$ του τριγώνου $\displaystyle{AEF}$ .

Αν $\displaystyle{O}$ το μέσο του τμήματος $\displaystyle{AI_A}$ , δηλαδή το κέντρο του κύκλου $\displaystyle{(C_2)}$ , τότε:

$\displaystyle{MO//I_AD \ \ (1) }$

Από την (1) προκύπτει ότι η $\displaystyle{MO}$ είναι κάθετη στη χορδή $\displaystyle{PQ}$ και συνεπώς μεσοκάθετος αυτής. Άρα:

$\displaystyle{MP=MQ \ \ (2) }$

Δηλαδή το τρίγωνο $\displaystyle{MPQ}$ είναι ισοσκελές.

(συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

#3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 17, 2021 12:17 am
Μετά από καιρό...

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο . Θεωρούμε τον παρεγγεγραμμένο κύκλο $I_{A}$ που αντιστοιχεί στην κορυφή , ο οποίος εφάπτεται των πλευρών στα σημεία αντίστοιχα. Ο κύκλος τέμνει τη στα σημεία και . Έστω ακόμη το μέσο της .Αποδείξτε ότι ο $I_{A}$ εφάπτεται του .

Δεν είναι δική μου.

Συνέχεια....

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα 2.

: Επαφή κύκλων 2.png (43.38 KiB) Προβλήθηκε 674 φορές

Αν η προέκταση του τμήματος $\displaystyle{AD}$ τμήσει τον κύκλο $\displaystyle{(C_3)}$ , τον διερχόμενο από τα σημεία $\displaystyle{M,P,Q}$ , στο σημείο $\displaystyle{S}$ , τότε:

$\displaystyle{PD \cdot DQ=MD \cdot DS \ \ (3) }$

Επίσης, αν η τομή της προέκτασης του τμήματος $\displaystyle{AD}$ με τον κύκλο $\displaystyle{(C_2)}$ είναι το σημείο $\displaystyle{W}$ , τότε, όμοια, θα είναι:

$\displaystyle{PD \cdot DQ=AD \cdot DW \ \ (4)}$

Έτσι από τις (3) και (4) προκύπτει:

$\displaystyle{MD \cdot DS=AD \cdot DW \ \ (5)}$

Από την (5) και επειδή το σημείο $\displaystyle{M}$ είναι το μέσο του $\displaystyle{AD}$ προκύπτει τελικά:

$\displaystyle{DS=2DW \ \ (6)}$

ή ακόμα:

$\displaystyle{DW=WS \ \ (7)}$

δηλαδή το σημείο $\displaystyle{W}$ είναι μέσον του τμήματος $\displaystyle{DS}$ .

Έτσι αν φέρουμε την $\displaystyle{I_AW}$ τότε αυτή θα είναι προφανώς κάθετη στην $\displaystyle{DS}$ κι έτσι το τρίγωνο
$\displaystyle{I_ADS}$ θα είναι ισοσκελές. Άρα:

$\displaystyle{I_AD=I_AS=r_a \ \ (8)}$

όπου $\displaystyle{r_a}$ η ακτίνα του παρεγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ στη γωνία $\displaystyle{\hat{A}}$ .

Από την τελευταία σχέση (8) φαίνεται ότι το σημείο $\displaystyle{S}$ είναι κοινό σημείο των κύκλων $\displaystyle{(C_1)}$ και $\displaystyle{(C_3)}$
όπως αυτό φαίνεται στο επόμενο σχήμα 3.

: Επαφή κύκλων 3.png (50.92 KiB) Προβλήθηκε 674 φορές

(συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

#4

(Συνέχεια ....)

Στο επόμενο σχήμα (Σχ. 4) θα δείξουμε ότι το κοινό σημείο $\displaystyle{S}$ των κύκλων $\displaystyle{(C_1)}$ και $\displaystyle{(C_3)}$ είναι τελικά
και σημείο επαφής των κύκλων αυτών.

: Επαφή κύκλων 4.png (69.17 KiB) Προβλήθηκε 607 φορές

Στο σχήμα αυτό θεωρούμε τα αντίστροφα των κύκλων $\displaystyle{(C_1)}$ και $\displaystyle{(C_3)}$ ως προς πόλο την κορυφή $\displaystyle{A}$ και
με κύκλο αντιστροφής τον κύκλο $\displaystyle{(A,AF)}$ .

Οι κύκλοι αυτοί είναι:

1ος) Ο κύκλος $\displaystyle{(C`_1)}$ ο οποίος ταυτίζεται με τον $\displaystyle{(C_1)}$ διότι ο κύκλος $\displaystyle{(C_1)}$ τέμνει ορθογώνια τον κύκλο αντιστροφής $\displaystyle{(A,AF)}$ .
Η λέξη βέβαια "ταυτίζεται" σημαίνει ότι ότι το αντίστροφο κάθε σημείου του κύκλου αυτού ανήκει στον ίδιο αυτό κύκλο.

2ος) Ο αντίστροφος $\displaystyle{(C'_3)}$ του κύκλου $\displaystyle{(C_3)}$ , επειδή αυτός δεν διέρχεται από τον πόλο $\displaystyle{A}$ , κατασκευάζεται ως ο ομοιόθετος αυτού,
δηλαδή του $\displaystyle{(C_3)}$ , ως προς κέντρο ομοιοθεσίας τον πόλο αντιστροφής $\displaystyle{A}$ και με λόγο ομοιοθεσίας:

$\displaystyle{l=\frac{k}{p} \ \ (9)}$

όπου $\displaystyle{k}$ η δύναμη αντιστροφής και $\displaystyle{p}$ η δύναμη του πόλου αντιστροφής $\displaystyle{A}$ ως προς τον κύκλο $\displaystyle{(C_3)}$ .

Υπολογισμός των $\displaystyle{ k, p}$ .

Είναι:

$\displaystyle{k=(AF)^2=(AD)(AS)=2n(2n+2m)=4n(n+m) \ \ (10) }$

$\displaystyle{p=D(A,C_3)=(AM)(AS)=n(2n+2m)=2n(n+m) \ \ (11)}$

Από τις (10) και (11) προκύπτει ο λόγος ομοιοθεσίας:

$\displaystyle{l=2 \ \ (12)}$

Σύμφωνα με τα ανωτέρω κατασκευάστηκαν οι κύκλοι $\displaystyle{(C'_1)}$ και $\displaystyle{(C'_3)}$ .

Στη συνέχεια αν θεωρήσουμε την ευθεία $\displaystyle{(e)}$ η οποία είναι εφαπτομένη του κύκλου $\displaystyle{(C_3)}$ στο σημείο $\displaystyle{M}$
του ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle{(MPQ)}$ , τότε προφανώς κατά την ανωτέρω ομοιοθεσία, η εικόνα αυτής θα είναι η $\displaystyle{(e')}$ ,
η οριζομένη από την πλευρά $\displaystyle{PQ}$ του τριγώνου αυτού.
Όμως κατά την ομοιοθεσία η επαφή δύο γραμμών διατηρείται. Έτσι η ευθεία $\displaystyle{(e')}$ και ο κύκλος $\displaystyle{(C'_3)}$ ως ομοιόθετα
δυο γραμμών που εφάπτονται, θα είναι κι αυτά εφαπτόμενα και μάλιστα στο σημείο $\displaystyle{D}$ .

Τελικά οι κύκλοι $\displaystyle{(C'_1), \ \ (C'_3)}$ εφάπτονται της $\displaystyle{(e')}$ στο σημείο $\displaystyle{D}$ και επειδή το αντίστροφο του σημείου $\displaystyle{S}$
είναι το σημείο $\displaystyle{D}$ , οι κύκλοι $\displaystyle{(C_1)}$ και $\displaystyle{(C_3)}$ εφάπτονται μεταξύ των στο σημείο $\displaystyle{S}$ .

Κώστας Δόρτσιος

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ · #5

Ευχαριστώ πολύ για την ενασχόλησή σας με το πρόβλημα!
Μέσα στις επόμενες μέρες θα παραθέσω και τη δική μου λύση , η οποία πάντως δεν απέχει αρκετά από την ανεβασμένη .

Εφαπτόμενοι κύκλοι

Εφαπτόμενοι κύκλοι

Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι

Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι

Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι

Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι

Μέλη σε σύνδεση