Μικτοεγγεγραμμένος και σταθερό σημείο
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13233
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Μικτοεγγεγραμμένος και σταθερό σημείο
τον κύκλο που εφάπτεται στα τμήματα στα σημεία αντίστοιχα και εσωτερικά στον κύκλο
Να δείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Μικτοεγγεγραμμένος και σταθερό σημείο
Έστω ότι η ευθεία τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας στο σημείο . Θα αποδείξουμε ότι το ταυτίζεται με το έγκεντρο του (που είναι σταθερό). Αν , τότε ισχύει όπου το -παράκεντρο του .
Λήμμα
Τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Το κέντρο του είναι το μέσο του τόξου , δηλαδή το .
Ακόμη, ισχύει (ως εγγεγραμμένες στο τόξο ) και (ως εγγεγραμμένες στο τόξο )
Έτσι:
Συνεπώςκαι το ζητούμενο έπεται.
Λήμμα
Τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Το κέντρο του είναι το μέσο του τόξου , δηλαδή το .
Ακόμη, ισχύει (ως εγγεγραμμένες στο τόξο ) και (ως εγγεγραμμένες στο τόξο )
Έτσι:
Συνεπώςκαι το ζητούμενο έπεται.
τελευταία επεξεργασία από MAnTH05 σε Τρί Μάιος 18, 2021 8:50 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Ματθαίος Κουκλέρης
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13233
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Μικτοεγγεγραμμένος και σταθερό σημείο
Από πού προκύπτει αυτό; (Θεωρείς ότι ισχύει αυτό που θέλεις να αποδείξεις).MAnTH05 έγραψε: ↑Κυρ Μάιος 16, 2021 8:01 pmΈστω ότι η ευθεία τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας στο σημείο . Θα αποδείξουμε ότι το ταυτίζεται με το έγκεντρο του (που είναι σταθερό). Αν , τότε ισχύει όπου το -παράκεντρο του .
Λήμμα
Τα σημεία είναι ομοκυκλικά, (αφού το τετράπλευρο έχι δύο απέναντι ορθές γωνίες).
Re: Μικτοεγγεγραμμένος και σταθερό σημείο
Ας δούμε πρώτα μια κατασκευή του σχήματος .george visvikis έγραψε: ↑Πέμ Μάιος 13, 2021 11:11 amΜικτοεγγεγραμμένος και σταθερό σημείο.png
Τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και είναι μεταβλητό σημείο της πλευράς Γράφουμε
τον κύκλο που εφάπτεται στα τμήματα στα σημεία αντίστοιχα και εσωτερικά στον κύκλο
Να δείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο.
Έστω λυμένο το πρόβλημα . Ο ομόκεντρος κύκλος που περνάει από το σταθερό σημείο του δεδομένου κύκλου θα εφάπτεται ,
σε σταθερή ευθεία παράλληλη στη διερχομένη από το και επί πλέον θα διέρχεται από το σημείο , συμμετρικό του ως προς τη διχοτόμο της .
Δηλαδή έχουμε την κλασσική κατασκευή (1η Απολλώνια κατασκευή).
Αφού προσδιορίσουμε το κέντρο του κύκλου που θέλουμε , η απόστασή του από την ( ή την ) είναι η ακτίνα του.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13233
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Μικτοεγγεγραμμένος και σταθερό σημείο
Για την ιστορία, η πρόταση αυτή είναι γνωστή ως Λήμμα του Sawayama. Τρεις γνωστές
αποδείξεις είναι του Jean Louis Ayme του Jack D' Aurizio και του Oleg Golberg
αποδείξεις είναι του Jean Louis Ayme του Jack D' Aurizio και του Oleg Golberg
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Μικτοεγγεγραμμένος και σταθερό σημείο
Να σημειώσουμε ότι το παραπάνω λήμμα ισχύει γενικότερα και για άλλες περιπτώσεις επαφής του μικτογεγγραμμένου κύκλου, όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. Η συσχέτιση με το θεώρημα Thébault είναι εμφανής.
Πηγή για τα σχήματα: περιοδικό Κβαντ, τεύχος 4, 2008.
Πηγή για τα σχήματα: περιοδικό Κβαντ, τεύχος 4, 2008.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες