Κατασκευή τριγώνου

#1

Να κατασκευάσετε τρίγωνο ABC,

όταν δίνονται η γωνία $\widehat A=\theta,$ η διάμεσος AM=m

και η διχοτόμος AD=d.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 07, 2021 10:07 am
Να κατασκευάσετε τρίγωνο όταν δίνονται η γωνία $\widehat A=\theta,$ η διάμεσος και η διχοτόμος

Θα δώσω μια λύση που δεν ξέρω αν είναι εντός φακέλλου.
Η λύση δίνει ότι η κατασκευή είναι πάντα δυνατή αν $m\geq d$
οπότε δεν χρειάζεται διερεύνηση.
Παίρνουμε σαν μονάδα μέτρησης το μήκος

δηλαδή

Ετσι είναι $m\geq 1$
Αφού η $\widehat A=\theta,$ είναι γνωστή το $a=\tan \frac{\theta }{2}$
κατασκευάζεται.
Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων και τα σημεία A=(0,1),B=(a,0),C=(-a,0)

.
Το πρόβλημα ανάγεται στο
Από το (0,0)

να φέρουμε ευθεία που τέμνει τις ημιευθείες που ορίζουν τα AB,AC

στα $B_{1},C_{1}$
και αν

το μέσο του $B_{1},C_{1}$ τότε MA=m

Εστω $y=\lambda x,\lambda >0$ η ευθεία.
(παραλείπω πράξεις ρουτίνας μεν σημαντικές δε)
Αν θέσουμε $t=\lambda a$
η συνθήκη MA=m

δίνει

(1)
Εύκολα βλέπουμε (από αυτά που παραλείψαμε ) οτι 0<t<1

Ετσι η (1) δίνει μοναδική λύση ως προς

.
Βρίσκουμε το $\lambda$ και ολοκληρώνουμε την κατασκευή.
Προφανώς για $\lambda <0$ έχουμε την συμμετρική λύση.

Θυμάμαι από μαθητής το πρόβλημα
Να κατασκευασθεί τρίγωνο αν γνωρίζουμε την $\widehat A=\theta,$
και δύο από τα $\upsilon _{a},\mu _{a},\delta _{a}$ .
Υπάρχει και καθαρά Γεωμετρική λύση.
Αν δεν γραφεί κάποια στιγμή θα την γράψω.

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 07, 2021 10:07 am
Να κατασκευάσετε τρίγωνο όταν δίνονται η γωνία $\widehat A=\theta,$ η διάμεσος και η διχοτόμος

Ανάλυση: Στο σχολικό βιβλίο υπάρχει μια απλή άσκηση .

Αν σε τρίγωνο $\vartriangle ABC$ φέρω τη διάμεσο

και οι διχοτόμοι των $\widehat {AMB}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {AMC}$ κόψουν τις AB,AC

στα

τότε :

.

Έστω τώρα λυμένο το πρόβλημα . Αν θεωρήσω το ευθύγραμμο τμήμα AD = d

ως

βάση κατασκευής τότε είναι σταθερές οι ευθείες AB,AC

οι γωνίες $\widehat {BAD} = \widehat {CAD} = \theta$

καθώς και το μήκος AM = m

.

Φέρνω από το

παράλληλη στην

και τέμνει την

στο

. Θα είναι $BA = AT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CT = 2m$ .

Φέρνω και τη διχοτόμο

του $\vartriangle ACT$ συνεπώς DZ//BT

( σύμφωνα με τη σχολική άσκηση ) με άμεσες συνέπειες:

: κατασκευή τριγώνου_Bis_new_2_extra.png (21.39 KiB) Προβλήθηκε 879 φορές

Το ορθογώνιο τρίγωνο ADZ

κατασκευάζεται γιατί $AD = d\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,\widehat {{\alpha _1}} = \widehat \theta$ οπότε είναι σταθερό και το $\boxed{AZ = k}$ .

Το τρίγωνο ATC

κατασκευάζεται γιατί ξέρουμε την πλευρά του TC = 2m

την απέναντι γωνία του $\widehat {TAC} = 180^\circ - 2\widehat \theta$

( άρα ξέρουμε και την ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου ) και τη διχοτόμο του AZ = k

.

Δηλαδή γράφω το κύκλο του , θεωρώ χορδή του TC = 2m

, από το μέσο του αντίστοιχου τόξου ( νότιος πόλος ) γράφω κύκλο υπολογίσιμης ακτίνας και βρίσκω το

.

Στο δυναμικό αρχείο που επισυνάπτω μπορείτε να αλλάξετε τα μήκη διχοτόμου, διαμέσου και γωνίας με τους δρομείς , αρκεί η διχοτόμος να είναι πιο μικρή από τη διάμεσο .( Δείτε σχετικά και την λύση του Κ. Σταύρου Παπαδόπουλου

#4

Ευχαριστώ τον Σταύρο και τον Νίκο για τις λύσεις τους.

$\displaystyle \bullet$ Μου άρεσε ιδιαίτερα

η αρχική ιδέα του Σταύρου:

"Από το να φέρουμε ευθεία που τέμνει τις ημιευθείες που ορίζουν τα
στα $B_{1},C_{1}$ και αν το μέσο του $B_{1},C_{1}$ τότε "

και αναζητώ γεωμετρική λύση σε αυτό.

$\displaystyle \bullet$ Μου άρεσε επίσης η ολοκληρωμένη και εμπεριστατωμένη γεωμετρική κατασκευή του Νίκου

Αργότερα, αν δεν υπάρξει άλλη λύση, θα δώσω και μία άλλη προσέγγιση.

#5

Η κατασκευή που θα κάνω εδώ δεν είναι δική μου. Την γράφω όπως την διάβασα.

: Κατασκευή τριγώνου.Δδ.png (29.94 KiB) Προβλήθηκε 781 φορές

Κατασκευή: Γράφω κύκλο χορδής AE=2m

που δέχεται γωνία $\theta$ και φέρνω τη διάμετρο

κάθετη στην

στο

μέσο της

Επί της

θεωρώ σημείο

ώστε $EP=\dfrac{d}{2}$ και φέρνω PQ||KL

(

σημείο της

). Προεκτείνω

την

κατά τμήμα QS=QE.

Ο κύκλος

τέμνει το τόξο $\overset\frown{KE}$ στο

Αν

είναι το συμμετρικό του

ως

προς

τότε το

είναι το ζητούμενο τρίγωνο.

Η απόδειξη εδώ(*)

Το πρόβλημα έχει λύση όταν $\boxed{m\ge d}$

(*) Εκκρεμεί η απόδειξη, γιατί η λύση στην παραπομπή είναι λάθος.

#6

Δίνω μία μετρική λύση. Στην ουσία αποδεικνύω ότι με τα δεδομένα του προβλήματος κατασκευάζονται οι

πλευρές οπότε αφού είναι γνωστή και η γωνία $\widehat A=\theta,$ το τρίγωνο είναι κατασκευάσιμο.

Με νόμο συνημιτόνου $\boxed{{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos \theta}$ και με θ. διαμέσων $\boxed{4m^2=2b^2+2c^2-a^2}$

Με απαλοιφή του

έχω $\displaystyle {b^2} + {c^2} - 4{m^2} = - 2bc\cos \theta \Leftrightarrow$ $\boxed{{(b + c)^2} - 2bc(1 + \cos \theta ) - 4{m^2} = 0}$ (1)

Αλλά, $\displaystyle d = \frac{{2bc}}{{b + c}}\cos \frac{\theta }{2}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{{(b + c)^2} - 2d(b + c)\sin \frac{\theta }{2}\tan \frac{\theta }{2} - 4{m^2} = 0}$

Επειδή -4m^2<0,

η παραπάνω δευτεροβάθμια εξίσωση έχει ακριβώς μία θετική ρίζα, έστω b+c=S

και με αντικατάσταση βρίσκουμε bc=P,

άρα οι

είναι ρίζες της εξίσωσης $\boxed{x^2-Sx+P=0}$

Εδώ βέβαια χρειάζεται διερεύνηση, κατά πόσον η τελευταία αυτή εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες και μάλιστα θετικές.

Για να αποφύγουμε αυτό το βήμα, μπορούμε να σταματήσουμε στον υπολογισμό του b+c.

Το πρόβλημα λοιπόν

ανάγεται στην κατασκευή τριγώνου από το άθροισμα δύο πλευρών του, την περιεχομένη γωνία και το μήκος

της αντίστοιχης διχοτόμου.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 23, 2021 5:27 pm

Για να αποφύγουμε αυτό το βήμα, μπορούμε να σταματήσουμε στον υπολογισμό του Το πρόβλημα λοιπόν

ανάγεται στην κατασκευή τριγώνου από το άθροισμα δύο πλευρών του, την περιεχομένη γωνία και το μήκος

της αντίστοιχης διχοτόμου.

Είναι γνωστό ότι σε ένα τρίγωνο ισχύει

$\displaystyle \frac{1}{\beta }+\frac{1}{\gamma }=\frac{1}{c}$

όπου

είναι η πλευρά του ισοσκελους τριγώνου με βάση την $\displaystyle \delta _{a}$
και γωνίες βάσεις $\displaystyle \frac{A}{2}$
Αρα το

είναι γνωστό μήκος στην περίπτωση μας.

Ετσι $\displaystyle c(\beta +\gamma )=\beta \gamma$

Αφού $\displaystyle\beta +\gamma$ γνωστό και το $\displaystyle\beta \gamma$ είναι γνωστό και τελικά τα
$\displaystyle\beta ,\gamma$ γνωστά .

#8

Αφού ευχαριστήσω το Σταύρο για τη λύση του, θα δώσω μία διαφορετική κατασκευή.

Έστω ότι δίνονται $\widehat A=2\theta, b+c=k$ και η διχοτόμος AD=d.

: Κατασκευή τριγώνου.β.png (16.81 KiB) Προβλήθηκε 577 φορές

Ανάλυση: Έστω ABC

το ζητούμενο τρίγωνο. Στην προέκταση του

θεωρώ σημείο

ώστε

οπότε

Η

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο μέσο

του τόξου $\overset\frown{BC}.$ Άρα BM=MC

και τα τρίγωνα

MBE, MCA

είναι προφανώς ίσα. Επομένως, MA=ME.

Το τρίγωνο MAE

είναι λοιπόν κατασκευάσιμο (είναι

ισοσκελές με βάση AE=k

και προσκείμενες γωνίες ίσες με $\theta$ ). Έτσι, το τμήμα

είναι ορισμένο, άρα και το DM.

Επομένως το

είναι το σημείο τομής της

με το τόξο χορδής

που δέχεται γωνία $\theta.$ Εύκολα τώρα οδηγούμαστε

στην κατασκευή του ABC.

Η απόδειξη είναι απλή και προκύπτει άμεσα από την Ανάλυση.

Διερεύνηση: $\displaystyle 2\sqrt {bc} \le b + c \Leftrightarrow 4bc \le {k^2}.$ Αλλά, $\displaystyle d = \frac{{2bc}}{{b + c}}\cos \theta \le \frac{{{k^2}}}{{2k}}\cos \theta$

Άρα το πρόβλημα έχει λύση όταν $\boxed{d \le \frac{k}{2}\cos \theta }$

Κατασκευή τριγώνου

Κατασκευή τριγώνου

Re: Κατασκευή τριγώνου

Re: Κατασκευή τριγώνου

Re: Κατασκευή τριγώνου

Re: Κατασκευή τριγώνου

Re: Κατασκευή τριγώνου

Re: Κατασκευή τριγώνου

Re: Κατασκευή τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση