Ισότητες

#1

Δίνεται κύκλος διαμέτρου

και μία χορδή

κάθετη στην

στο

Επί της

θεωρώ σημείο

και φέρνω

σημείο της KE).

Προεκτείνω την

κατά

Ο κύκλος

τέμνει το τόξο $\overset\frown {KE}$

στο

Αν

είναι το συμμετρικό του

ως προς

και

είναι η διχοτόμος του τριγώνου ABC,

να δείξετε ότι

AD=2EP

και $B\widehat AC=A\widehat LE.$

MAnTH05 · #2

Μερικές σκέψεις (συνοπτικά)

Για το πρώτο ερώτημα:
Το τετράπλευρο ACEB

είναι παραλληλόγραμμο, εφόσον οι διαγώνιοί του διχοτομούνται, άρα τα τρίγωνα ABC

και

είναι ίσα.
Άρα, αν ED'

είναι η διχοτόμος της $\angle CEB$ ισχύει AD = ED'

.
Θεωρούμε, τώρα το συμμετρικό του

ως προς το

. Αρκεί να δείξουμε πως το τρίγωνο ED'E'

είναι ισοσκελές.
Έστω

το μέσο του D'E'

H σπειροειδής ομοιότητα $\phi$ με κέντρο το

και γωνία $\angle QEL$ στέλνει το ισοσκελές QSE

στο

άρα στο τρίγωνο REE'

η διάμεσος

ισούται με το μισό της EE'

άρα $ERE' = 90^{\circ}$ .
Για το δεύτερο ερώτημα:
Υποθέτουμε πως η

τέμνει τον κύκλο στο

, ισχύει $\angle AJB = \angle ALB$ , άρα αρκεί να δείξουμε ότι AE = JB

, κάτι που προκύπτει π.χ. από το ισοσκελές τραπέζιο AJEB

.