Ισότητες

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10649
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ισότητες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Απρ 24, 2021 7:55 pm

Ισότητες.png
Ισότητες.png (19.96 KiB) Προβλήθηκε 274 φορές
Δίνεται κύκλος διαμέτρου KL και μία χορδή AE κάθετη στην KL στο M. Επί της LE θεωρώ σημείο P και φέρνω

PQ||KL (Q σημείο της KE). Προεκτείνω την LQ κατά QS=QE. Ο κύκλος (L, LS) τέμνει το τόξο \overset\frown {KE}

στο B. Αν C είναι το συμμετρικό του B ως προς M και AD είναι η διχοτόμος του τριγώνου ABC, να δείξετε ότι

AD=2EP και B\widehat AC=A\widehat LE.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
MAnTH05
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 20, 2020 7:43 pm

Re: Ισότητες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από MAnTH05 » Τρί Μάιος 04, 2021 8:41 pm

Μερικές σκέψεις (συνοπτικά)

Για το πρώτο ερώτημα:
Το τετράπλευρο ACEB είναι παραλληλόγραμμο, εφόσον οι διαγώνιοί του διχοτομούνται, άρα τα τρίγωνα ABC και CEB είναι ίσα.
Άρα, αν ED' είναι η διχοτόμος της \angle CEB ισχύει AD = ED'.
Θεωρούμε, τώρα το συμμετρικό του E ως προς το P. Αρκεί να δείξουμε πως το τρίγωνο ED'E'είναι ισοσκελές.
Έστω R το μέσο του D'E' H σπειροειδής ομοιότητα \phi με κέντρο το E και γωνία \angle QEL στέλνει το ισοσκελές QSE στο RPE άρα στο τρίγωνο REE' η διάμεσος RP ισούται με το μισό της EE' άρα ERE' = 90^{\circ}.
Για το δεύτερο ερώτημα:
Υποθέτουμε πως η AC τέμνει τον κύκλο στο J, ισχύει \angle AJB = \angle ALB, άρα αρκεί να δείξουμε ότι AE = JB, κάτι που προκύπτει π.χ. από το ισοσκελές τραπέζιο AJEB.


Ματθαίος Κουκλέρης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης