Μήκος προβολής 2

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10569
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Μήκος προβολής 2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Απρ 17, 2021 11:47 am

Γενίκευση αυτής
Μήκος προβολής.2.png
Μήκος προβολής.2.png (14.73 KiB) Προβλήθηκε 340 φορές
Έστω O το περίκεντρο τριγώνου ABC και P ένα σταθερό σημείο της ευθείας AO. Γράφω μεταβλητό κύκλο που

διέρχεται από τα σημεία A, P και τέμνει τις AB, AC στα E, F αντίστοιχα. Να δείξετε ότι η προβολή ST του EF

στη BC έχει σταθερό μήκος, ανεξάρτητο της ακτίνας του κύκλου.


ΥΓ. Τα σημεία E, F δεν είναι υποχρεωτικά εσωτερικά των πλευρών AB, AC.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1934
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Μήκος προβολής 2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Δευ Μάιος 17, 2021 5:28 pm

Ας είναι  a=\measuredangle EAP,b=\measuredangle AFE. Προκύπτει \measuredangle C=90^o-a

Φέρνω FE' //BC. Έστω t=\measuredangle EFE'. Η ζητούμενη προβολή είναι

EFcost=2RsinAcost=\dfrac{AP}{sinAFP}sinAcost=\dfrac{AP}{sin(a+b)}sinAcos{[(90-a)-b]}=APsinA :P


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10569
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μήκος προβολής 2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μάιος 17, 2021 6:37 pm

rek2 έγραψε:
Δευ Μάιος 17, 2021 5:28 pm
Ας είναι  a=\measuredangle EAP,b=\measuredangle AFE. Προκύπτει \measuredangle C=90^o-a

Φέρνω FE' //BC. Έστω t=\measuredangle EFE'. Η ζητούμενη προβολή είναι

EFcost=2RsinAcost=\dfrac{AP}{sinAFP}sinAcost=\dfrac{AP}{sin(a+b)}sinAcos{[(90-a)-b]}=APsinA :P
Πολύ καλό Κώστα!!! :clap2: :clap2:


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1934
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Μήκος προβολής 2

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Μάιος 23, 2021 12:05 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Μάιος 17, 2021 6:37 pm
rek2 έγραψε:
Δευ Μάιος 17, 2021 5:28 pm
Ας είναι  a=\measuredangle EAP,b=\measuredangle AFE. Προκύπτει \measuredangle C=90^o-a

Φέρνω FE' //BC. Έστω t=\measuredangle EFE'. Η ζητούμενη προβολή είναι

EFcost=2RsinAcost=\dfrac{AP}{sinAFP}sinAcost=\dfrac{AP}{sin(a+b)}sinAcos{[(90-a)-b]}=APsinA :P
Πολύ καλό Κώστα!!! :clap2: :clap2:

Γιώργο, ευχαριστώ για το θέμα, και για τον ενθουσιασμό που έδειξες για την λύση.

Να πω ότι δεν θέλησα να "παγιδευτώ" από το περίκεντρο, αλλά σκέφτηκα να δω το εξής γενικότερο πρόβλημα:

Δίνονται οι ημιευθείες Ab, Ao, Ac με κοινή αρχή το A, και, σταθερό σημείο P της Ao.
Μεταβλητός κύκλος διέρχεται από τα σημεία A,P και τέμνει τις Ab, Ac στα E,F.
Να βρεθεί η διεύθυνση επί της οποίας το EF έχει σταθερή προβολή. :lol:


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10569
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μήκος προβολής 2

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μάιος 25, 2021 11:14 am

rek2 έγραψε:
Κυρ Μάιος 23, 2021 12:05 pm
george visvikis έγραψε:
Δευ Μάιος 17, 2021 6:37 pm
rek2 έγραψε:
Δευ Μάιος 17, 2021 5:28 pm
Ας είναι  a=\measuredangle EAP,b=\measuredangle AFE. Προκύπτει \measuredangle C=90^o-a

Φέρνω FE' //BC. Έστω t=\measuredangle EFE'. Η ζητούμενη προβολή είναι

EFcost=2RsinAcost=\dfrac{AP}{sinAFP}sinAcost=\dfrac{AP}{sin(a+b)}sinAcos{[(90-a)-b]}=APsinA :P
Πολύ καλό Κώστα!!! :clap2: :clap2:

Γιώργο, ευχαριστώ για το θέμα, και για τον ενθουσιασμό που έδειξες για την λύση.

Να πω ότι δεν θέλησα να "παγιδευτώ" από το περίκεντρο, αλλά σκέφτηκα να δω το εξής γενικότερο πρόβλημα:

Δίνονται οι ημιευθείες Ab, Ao, Ac με κοινή αρχή το A, και, σταθερό σημείο P της Ao.
Μεταβλητός κύκλος διέρχεται από τα σημεία A,P και τέμνει τις Ab, Ac στα E,F.
Να βρεθεί η διεύθυνση επί της οποίας το EF έχει σταθερή προβολή. :lol:
Ωραία σκέψη, Κώστα! :cool1:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης