Λόγος χωρίς τιμές

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10648
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Λόγος χωρίς τιμές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Φεβ 15, 2021 1:22 pm

Λόγος χωρίς τιμές.png
Λόγος χωρίς τιμές.png (20.56 KiB) Προβλήθηκε 402 φορές
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ABC με κάθετες πλευρές b, c και (I, r) ο εγγεγραμμένος του κύκλος.

α) Να κατασκευάσετε κύκλο (\omega) που να διέρχεται από τα σημεία B, C και να εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου (I).

β) Γράφουμε τον κύκλο (K, b) που εφάπτεται της BC στο μέσο της M (Τα σημεία K, I εκατέρωθεν της BC). Αν

ο κύκλος (K) εφάπτεται εσωτερικά και του (\omega), να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{b}{c}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Λόγος χωρίς τιμές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Φεβ 15, 2021 3:11 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Φεβ 15, 2021 1:22 pm
Λόγος χωρίς τιμές.png
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ABC με κάθετες πλευρές b, c και (I, r) ο εγγεγραμμένος του κύκλος.

α) Να κατασκευάσετε κύκλο (\omega) που να διέρχεται από τα σημεία B, C και να εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου (I).

β) Γράφουμε τον κύκλο (K, b) που εφάπτεται της BC στο μέσο της M (Τα σημεία K, I εκατέρωθεν της BC). Αν

ο κύκλος (K) εφάπτεται εσωτερικά και του (\omega), να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{b}{c}.
Ο «αυτόματος πιλότος» έδωσε: \boxed{\frac{b}{c} = \frac{7}{{24}}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10648
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Λόγος χωρίς τιμές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Απρ 14, 2021 7:48 pm

Επαναφορά γιατί φαίνεται απαντημένη, ενώ στην ουσία είναι άλυτη.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10648
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Λόγος χωρίς τιμές

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Απρ 18, 2021 1:13 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Φεβ 15, 2021 1:22 pm

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ABC με κάθετες πλευρές b, c και (I, r) ο εγγεγραμμένος του κύκλος.

α) Να κατασκευάσετε κύκλο (\omega) που να διέρχεται από τα σημεία B, C και να εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου (I).

β) Γράφουμε τον κύκλο (K, b) που εφάπτεται της BC στο μέσο της M (Τα σημεία K, I εκατέρωθεν της BC). Αν

ο κύκλος (K) εφάπτεται εσωτερικά και του (\omega), να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{b}{c}.
α) Γνωστή Απολλώνια κατασκευή.

β) Έστω E το σημείο επαφής του κύκλου (I) με την BC και P, N τα σημεία επαφής των κύκλων (I), (K)

αντίστοιχα με τον (\omega). Θέτω PE=x, EN=y και φέρνω τη διάμετρο EZ του κύκλου (I). Σύμφωνα με

αυτήν τα σημεία P, E, N είναι συνευθειακά.
Λόγος χωρίς τιμές.Ι.png
Λόγος χωρίς τιμές.Ι.png (25.44 KiB) Προβλήθηκε 157 φορές
Τα τρίγωνα PEZ, MNE είναι όμοια, άρα \displaystyle \frac{x}{{2b}} = \frac{{2r}}{y} \Leftrightarrow \boxed{xy=4br} (1)

\displaystyle \frac{{bc}}{2} = (ABC) = CE \cdot EB = xy\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} bc = 8br \Leftrightarrow 2\tau r = 8br \Leftrightarrow \boxed{\tau  = 4b}

\displaystyle a + b + c = 2\tau  = 8b \Leftrightarrow {a^2} = {(7b - c)^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 49{b^2} - 14bc+c^2 \Leftrightarrow \boxed{\frac{b}{c}=\frac{7}{24}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης