Έγκεντρο και τμήμα

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12552
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Έγκεντρο και τμήμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Δεκ 24, 2020 7:55 pm

Έγκεντρο και τμήμα.png
Έγκεντρο και τμήμα.png (12.39 KiB) Προβλήθηκε 376 φορές
Σε τρίγωνο με AB=6 , AC=9 , BC=10 , εγγράψαμε κύκλο (E) . Στην πλευρά AC

θεωρούμε σημείο T , ώστε : AT=\dfrac{18}{5} . Η TE τέμνει την πλευρά AB στο σημείο S .

α) Δείξτε ότι τα σημεία B , S , T , C είναι ομοκυκλικά ... β) Υπολογίστε το μήκος του ST .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7924
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Έγκεντρο και τμήμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Δεκ 24, 2020 10:37 pm

Έγκεντρο και τμήμα.png
Έγκεντρο και τμήμα.png (26.84 KiB) Προβλήθηκε 335 φορές

Αν AD η διχοτόμος τότε έχω :\boxed{BD = \dfrac{{ac}}{{b + c}} = \dfrac{{60}}{{15}} = 4 \Rightarrow DC = 6} . Έτσι όμως

\dfrac{{AS}}{{SC}} = \dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow AB//DS. Αναγκαστικά τότε AS = SD = \dfrac{{18}}{5} .

Η CE διχοτομεί την γωνία στο C και λόγω της πιο πάνω παραλληλίας θα έχω διαδοχικά :

\boxed{\frac{{AT}}{{AS}} = \frac{{TE}}{{ES}} = \frac{{AE}}{{ED}} = \frac{{AC}}{{CD}} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \Rightarrow AT = \frac{{27}}{5} = SC} μα τότε τα τρίγωνα

AST\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SDC θα έχουν: SA = SD\,\,,\,\,AT = SC\,\,\kappa \alpha \iota \,\widehat {\,SAT} = \widehat {DSC} συνεπώς είναι ίσα άρα

TS = DC = 6\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {ACB} οπότε τα σημεία B,T,S,C είναι ομοκυκλικά .


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13335
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Έγκεντρο και τμήμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 25, 2020 8:54 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Δεκ 24, 2020 7:55 pm
Έγκεντρο και τμήμα.pngΣε τρίγωνο με AB=6 , AC=9 , BC=10 , εγγράψαμε κύκλο (E) . Στην πλευρά AC

θεωρούμε σημείο T , ώστε : AT=\dfrac{18}{5} . Η TE τέμνει την πλευρά AB στο σημείο S .

α) Δείξτε ότι τα σημεία B , S , T , C είναι ομοκυκλικά ... β) Υπολογίστε το μήκος του ST .
Εδώ 2\tau =25, \tau -a = \frac {25}{2}-10 = \frac {5}{2} και λοιπά, οπότε εύκολα από τον τύπο του Ήρωνα E= \sqrt {\dfrac {25}{2} \cdot \dfrac {5}{2}\cdot \dfrac {7}{2}\cdot \dfrac {7}{2}} = \dfrac {5}{4}\sqrt {5\cdot 7 \cdot 13}. Άρα από E=\rho \tau έχουμε \rho = \dfrac {1}{10}\sqrt {5\cdot 7 \cdot 13}.

Αν D το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με την AC , έχουμε DT= AT-AD = \dfrac{18}{5} -(\tau -a)=\dfrac{18}{5} -\dfrac{5}{2}=\dfrac {11}{10} . Άρα

\tan (\angle ATE)= \dfrac {\rho}{DT} =  \dfrac {1}{11}\sqrt {5\cdot 7 \cdot 13}, οπότε μέσω της \cos t = \dfrac {1}{\sqrt {\tan ^2 t+1} } έχουμε \cos (\angle ATE)= \dfrac {11}{24}

Επίσης, από τον Νόμο των Συνημιτόνων στο ABC έχουμε \cos (B)= \dfrac {10^2+6^2-9^2}{2\cdot 10\cdot 6}= \dfrac {11}{24} δηλαδή βρήκαμε \cos (\angle ATE)= \dfrac {11}{24}  = \cos B. Έπεται \angle ATE= B και άρα το BSTC είναι εγγράψιμο, όπως θέλαμε.

β) Το δεύτερο ερώτημα είναι άμεσο αφού στο τρίγωνο AST ξέρουμε μία πλευρά και τις προσκείμενες γωνίες. Οι πράξεις είναι πολλές για το πληκτρολόγιο, αλλά ρουτίνα, και τις αφήνω ως μάταιες.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2062
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Έγκεντρο και τμήμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Δεκ 25, 2020 7:08 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Δεκ 24, 2020 7:55 pm
Έγκεντρο και τμήμα.pngΣε τρίγωνο με AB=6 , AC=9 , BC=10 , εγγράψαμε κύκλο (E) . Στην πλευρά AC

θεωρούμε σημείο T , ώστε : AT=\dfrac{18}{5} . Η TE τέμνει την πλευρά AB στο σημείο S .

α) Δείξτε ότι τα σημεία B , S , T , C είναι ομοκυκλικά ... β) Υπολογίστε το μήκος του ST .
Χρόνια πολλά σε όλους

a.Έστω EH//BC.Από θ.διχοτόμου DB=4,DC=6

 \dfrac{AE}{ED} = \dfrac{AB}{BD}= \dfrac{3}{2}  \Rightarrow  \dfrac{AE}{AD}= \dfrac{EH}{DC}= \dfrac{AH}{AC}  =\dfrac{3}{5}  \Rightarrow  \dfrac{EH}{6}= \dfrac{3}{5} \Rightarrow EH= HC=\dfrac{18}{5} και  SH= \dfrac{9}{5}

Από  \dfrac{EH}{CZ}= \dfrac{SH}{SC}= \dfrac{1}{3} \Rightarrow CZ=3EH \Rightarrow CZ= \dfrac{54}{5}  \Rightarrow ZB= \dfrac{4}{5}

Ισχύει (Μενέλαος)  \dfrac{DE}{EA}  .  \dfrac{AT}{TB}   .  \dfrac{ZB}{ZD}=1 \Rightarrow  \dfrac{2}{3} . \dfrac{AT}{TB} .  \dfrac{1}{6}  =9 \Rightarrow  \dfrac{AT}{TB}=9 \Rightarrow AT=.. \dfrac{27}{5}

Τώρα η σχέση AT.AB=AS.AC είναι αληθής ,άρα,T,S,C,B ομοκυκλικά

b.) \angle C= \angle STA \Rightarrow ATS \triangle  \simeq  \triangle ABC \Rightarrow  \dfrac{TS}{BC} = \dfrac{AS}{AB}   \Rightarrow  \dfrac{ST}{10} = \dfrac{ \dfrac{18}{5} }{6} \Rightarrow ST=6
έγκεντρο και τμήμα.png
έγκεντρο και τμήμα.png (17.41 KiB) Προβλήθηκε 255 φορές


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 1035
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: Έγκεντρο και τμήμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Κυρ Δεκ 27, 2020 5:59 pm

Ας δούμε το δεύτερο ζητούμενο με τριγωνομετρία. Ό,τι γράψω θα έχει να κάνει με το σχήμα που σχεδίασε ο Θανάσης...



Λόγω του εγγράψιμου τετραπλεύρου του πρώτου σκέλους, μπορώ να γράψω ότι AS\cdot AB=AT\cdot AC και δεδομένου ότι \displaystyle AT=\frac{18}{5}, AB=6, AC=9 μπορούμε εύκολα να βρούμε ότι \displaystyle AS=\frac{27}{5}

Στο τρίγωνο ABC ισχύει ότι
\displaystyle cosA=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2\cdot AC\cdot AB}=\frac{6^{2}+9^{2}-10^{2}}{2\cdot 6\cdot 9}=\frac{17}{108}

Συνεπώς στο τρίγωνο AST βρίσκω ότι \displaystyle ST^{2}=SA^{2}+AT^{2}-2\cdot SA\cdot AT\cdot cosA=\left ( \frac{27}{5} \right )^{2}+\left ( \frac{18}{5} \right )^{2}-2\cdot \frac{27}{5}\cdot  \frac{18}{5}\cdot \frac{17}{108}=36

Έτσι λοιπόν ST=\sqrt{36}=6


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης