Τρίγωνο γνωστής οικογενείας

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10656
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Τρίγωνο γνωστής οικογενείας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 14, 2020 7:35 pm

Τρίγωνο γνωστής οικογενείας.png
Τρίγωνο γνωστής οικογενείας.png (12.45 KiB) Προβλήθηκε 718 φορές
Σε τρίγωνο ABC είναι 2a^2=b^2+c^2, ενώ τα M, N είναι μέσα των AB, AC και G είναι το βαρύκεντρο.

I) Να δείξετε ότι α) \displaystyle \widehat A \le 60^\circ ............ β) Τα σημεία A, M, G, N είναι ομοκυκλικά.

II) Να εντοπίσετε σημείο S του παραπάνω κύκλου, ώστε τα SB, SA, SC να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.


Αν με το πέρας της λύσης δεν έχετε ακόμα συστηθεί με το σημείο S, καιρός να το κάνετε :?



Λέξεις Κλειδιά:
ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: Τρίγωνο γνωστής οικογενείας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Δευ Δεκ 14, 2020 8:34 pm

Γιώργο, νομίζω ότι το 2ο ζητούμενο το έχουμε δει στην παρακάτω δημοσίευση
viewtopic.php?f=22&t=32400


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10656
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίγωνο γνωστής οικογενείας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Δεκ 15, 2020 7:58 pm

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Δευ Δεκ 14, 2020 8:34 pm
Γιώργο, νομίζω ότι το 2ο ζητούμενο το έχουμε δει στην παρακάτω δημοσίευση
viewtopic.php?f=22&t=32400
Πράγματι, Τηλέμαχε, το ερώτημα Iβ) στο οποίο αναφέρεται η παραπομπή είναι γνωστό και υπήρχε σε διάφορα παλιά βιβλία Γεωμετρίας εκ των οποίων και στο σχολικό (των Βαρουχάκη-Παπαμιχαήλ-Αλιμπινίση-Κοντογιάννη). Μάλιστα ήταν και πολύ δημοφιλές θέμα στις προαγωγικές εξετάσεις της Β' Λυκείου (τουλάχιστον στα λύκεια της περιοχής μου Γλυφάδα-Βούλα). Συνήθιζα να το κάνω στους μαθητές μου πριν τις εξετάσεις μαζί με άλλα επαναληπτικά θέματα. Η γενική εκφώνηση περιείχε αρκετά ερωτήματα (είναι η 8η άσκηση στο συνημμένο).


Στο παρόν τώρα θέμα, αυτό που έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον είναι το ερώτημα (ΙΙ) που στοιχειοθετήθηκε από τον ορισμό του κύκλου στο βοηθητικό ερώτημα (Ιβ). Γι' αυτό και διάλεξα το φάκελο Αρχιμήδη-Seniors και όχι Γεωμετρία Β'.



ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ.pdf
(230.3 KiB) Μεταφορτώθηκε 34 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10656
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίγωνο γνωστής οικογενείας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 21, 2020 7:16 pm

Επαναφορά γιατί η άσκηση φαίνεται απαντημένη, ενώ στην ουσία είναι αναπάντητη!


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10656
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίγωνο γνωστής οικογενείας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιαν 05, 2021 11:32 am

Τελευταία επαναφορά με αλλαγή εκφώνησης για το (II) ερώτημα.
Τρίγωνο γνωστής οικογενείας.β.png
Τρίγωνο γνωστής οικογενείας.β.png (11.91 KiB) Προβλήθηκε 467 φορές
Σε τρίγωνο ABC είναι 2a^2=b^2+c^2, ενώ τα M, N είναι μέσα των AB, AC και G είναι το βαρύκεντρο.

I) Να δείξετε ότι α) \displaystyle \widehat A \le 60^\circ ............ β) Τα σημεία A, M, G, N είναι ομοκυκλικά.

II) Η παράλληλη από το G στην BC επανατέμνει τον κύκλο στο S. Να δείξετε ότι τα τμήματα SB, SA, SC

είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2102
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Τρίγωνο γνωστής οικογενείας

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τετ Ιαν 06, 2021 9:13 am

george visvikis έγραψε:
Τρί Ιαν 05, 2021 11:32 am
Τελευταία επαναφορά με αλλαγή εκφώνησης για το (II) ερώτημα. Τρίγωνο γνωστής οικογενείας.β.png
Σε τρίγωνο ABC είναι 2a^2=b^2+c^2, ενώ τα M, N είναι μέσα των AB, AC και G είναι το βαρύκεντρο.

I) Να δείξετε ότι α) \displaystyle \widehat A \le 60^\circ ............ β) Τα σημεία A, M, G, N είναι ομοκυκλικά.

II) Η παράλληλη από το G στην BC επανατέμνει τον κύκλο στο S. Να δείξετε ότι τα τμήματα SB, SA, SC

είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.
Kαλημέρα Γιώργο ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ και ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ σε όλους

Θα απαντησω στο ερωτημα II) που είναι και το δυσκολότερο και αν χρειαστεί θα δώσω τη λύση και στα προηγούμενα ερωτήματα

Απο το θεώρημα των διαμέσων στο τρίγωνο ABC, b^{2}+c^{2}=2\mu _{a}^{2}+\dfrac{a^{2}}{2}\Rightarrow \mu_{a} ^{2}=\dfrac{3a^{2}}{4}, και ομοίως για τις άλλες διαμέσους
\mu _{b}^{2}=\dfrac{3c^{2}}{4},\mu _{c}^{2}=\dfrac{3b^{2}}{4},

Τα τρίγωνα ASN,BGP είναι όμοια άρα AS^{2}=\dfrac{4\mu _{b}^{2}}{9a^{2}}\Rightarrow AS^{2\ }=\dfrac{b^{2}c^{2}}{3a^{2}},(*)

AS^{2}+SB^{2}=2MS^{2}+\dfrac{c^{2}}{2}\Rightarrow SB^{2}=\dfrac{c^{4}}{3a^{2}},(1), 

AS^{2}+SC^{2}=2SN^{2}+\dfrac{b^{2}}{2}\Rightarrow SC^{2}=\dfrac{b^{4}}{3a^{2}},(2),

 (1),(2)\Rightarrow BS^{2}SC^{2}=\dfrac{b^{4}c^{4}}{9a^{4}}\Leftrightarrow SBSC=\dfrac{b^{2}c^{2}}{3a^{2}}

και απο την (*)\Rightarrow SA^{2}=SB.SC
Συνημμένα
Tρίγωνο γνωστής οικογένειας.png
Tρίγωνο γνωστής οικογένειας.png (45.2 KiB) Προβλήθηκε 403 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10656
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίγωνο γνωστής οικογενείας

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιαν 07, 2021 11:34 am

Σ' ευχαριστώ Γιάννη για τη λύση :clap2: και σου εύχομαι Χρόνια Πολλά για την ονομαστική σου εορτή!


Κι ένα επιπλέον ερώτημα: Να δείξετε ότι το S είναι το σημείο Lemoine του τριγώνου ABC.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2083
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τρίγωνο γνωστής οικογενείας

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Ιαν 07, 2021 12:50 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Δεκ 14, 2020 7:35 pm
Τρίγωνο γνωστής οικογενείας.png
Σε τρίγωνο ABC είναι 2a^2=b^2+c^2, ενώ τα M, N είναι μέσα των AB, AC και G είναι το βαρύκεντρο.

I) Να δείξετε ότι α) \displaystyle \widehat A \le 60^\circ ............ β) Τα σημεία A, M, G, N είναι ομοκυκλικά.

II) Να εντοπίσετε σημείο S του παραπάνω κύκλου, ώστε τα SB, SA, SC να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.


Αν με το πέρας της λύσης δεν έχετε ακόμα συστηθεί με το σημείο S, καιρός να το κάνετε :?
1. b^2+c^2=2a^2>a^2 \Rightarrow  \angle A<90^0.Από ν.συνημιτόνου έχουμε

a^2=b^2+c^2-2bccosa \Rightarrow 2a^2=2(b^2+c^2)-4bccosa \Rightarrow cosA= \dfrac{b^2+c^2}{4bc}  \geq  \dfrac{2bc}{4bc} = \dfrac{1}{2}

Άρα cosA\leq cos60^0 κι επειδή στο πρώτο τεταρτημόριο η συνάρτηση cosx είναι γνήσια φθίνουσα ,έχουμε   \angle A \leq 60^0

2.Είναι , 4BN^2=2(a^2+c^2)-b^2= 3c^2 \Rightarrow BN^2= \dfrac{3c^2}{4}  και BG . BN= \dfrac{2}{3} BN^2= \dfrac{c^2}{2}=BM . BA \Rightarrow M,A,N,G ομοκυκλικά

3.Ομοίως βρίσκουμε MC^2= \dfrac{3b^2}{4}  \Rightarrow 3MG^2= \dfrac{b^2}{4}

Το MNGS είναι ισοσκελές τραπέζιο ,άρα όλες οι γωνίες \theta είναι ίσες και NS=GM

Με Q μέσον της CS\Rightarrow NQ=// \dfrac{AS}{2}=//SP \Rightarrow NI//PQ \Rightarrow IS=2PQ=2NS και P μέσον της IC

NS.NI=3NS^2=3MG^2= \dfrac{b^2}{4}=NC^2   \Rightarrow  \angle ACS= \theta .

Επιπλέον,από το εγγράψιμμο ABPN,AIBS \Rightarrow  \angle NPC=A= \angle AIP= \angle BSP συνεπώς \angle ABS= \angleSAC=\omega

Τώρα τα τρίγωνα ABS,ACS είναι όμοια,άρα   \dfrac{SA}{SC} = \dfrac{SB}{SA} \Rightarrow SA^2=SB.SC

Λόγω ισότητας των γωνιών   \theta , \omega οι AS,BS είναι συμμετροδιάμεσοι του τριγώνου ABC άρα S είναι το σημείο Lemoine
τρίγωνο γνωστής οικογένειας.png
τρίγωνο γνωστής οικογένειας.png (44.05 KiB) Προβλήθηκε 337 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10656
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίγωνο γνωστής οικογενείας

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιαν 10, 2021 10:56 am

Σ' ευχαριστώ Μιχάλη για την πλήρη κάλυψη του θέματος :coolspeak:

Λίγο διαφορετικά για το σημείο Lemoine.
Τρίγωνο γνωστής οικογενείας.γ.png
Τρίγωνο γνωστής οικογενείας.γ.png (15.8 KiB) Προβλήθηκε 280 φορές
Έχει ήδη αποδειχθεί ότι \displaystyle B\widehat AD = P\widehat AC, άρα η AD είναι η A-συμμετροδιάμεσος. Εξάλλου,

\displaystyle \frac{{AS}}{{SD}} = \frac{{AG}}{{GP}} = 2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2}}}, οπότε S είναι το σημείο Lemoine του τριγώνου ABC.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης