Προσδιορισμός σημείου 5.
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Προσδιορισμός σημείου 5.
Καλημέρα σε όλους μετά από πολύ καιρό και σε συνθήκες του εγκλεισμού. Εύχομαι ότι καλύτερο στις οικογένειές σας.
Δίνονται δύο άνισοι κύκλοι κείμενοι εκτός αλλήλων και έστω , οι κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες αυτών, με τα σημεία έστω του κύκλου . Έστω , μεταβλητό σημείο μεταξύ των και ας είναι , οι εφαπτόμενες των κύκλων , αντιστοίχως. Προσδιορίστε την θέση του σημείου ωστε να είναι , όπου και . Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Δεν είναι δύσκολο να βρεις το ζητούμενο σημείο. Ελπίζω να ευχαριστηθείτε την τεκμηρίωσή του.
Δίνονται δύο άνισοι κύκλοι κείμενοι εκτός αλλήλων και έστω , οι κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες αυτών, με τα σημεία έστω του κύκλου . Έστω , μεταβλητό σημείο μεταξύ των και ας είναι , οι εφαπτόμενες των κύκλων , αντιστοίχως. Προσδιορίστε την θέση του σημείου ωστε να είναι , όπου και . Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Δεν είναι δύσκολο να βρεις το ζητούμενο σημείο. Ελπίζω να ευχαριστηθείτε την τεκμηρίωσή του.
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Προσδιορισμός σημείου 5.
Καλησπέρα Κώστα από Βρυξέλλεςvittasko έγραψε: ↑Δευ Δεκ 14, 2020 11:29 amΚαλημέρα σε όλους μετά από πολύ καιρό και σε συνθήκες του εγκλεισμού. Εύχομαι ότι καλύτερο στις οικογένειές σας.
Δίνονται δύο άνισοι κύκλοι κείμενοι εκτός αλλήλων και έστω , οι κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες αυτών, με τα σημεία έστω του κύκλου . Έστω , μεταβλητό σημείο μεταξύ των και ας είναι , οι εφαπτόμενες των κύκλων , αντιστοίχως. Προσδιορίστε την θέση του σημείου ωστε να είναι , όπου και .
f 181_t 68545.PNG
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Δεν είναι δύσκολο να βρεις το ζητούμενο σημείο. Ελπίζω να ευχαριστηθείτε την τεκμηρίωσή του.
Όμορφη πρόταση!
Έχω μια λύση με στοιχειώδη μέσα αλλά θα περιμένω (να μην το "κάψω") δύο μέρες για να το δουν και άλλοι φίλοι και μετά θα απαντήσω.
Είμαι σχεδόν βέβαιος ότι η λύση σου είναι διαφορετική. (Η δική μου είναι για Β' Λυκείου )
Να είσαι καλά όπου και αν βρίσκεσαι εσύ και οι δικοί σου άνθρωποι
Με εκτίμηση
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Προσδιορισμός σημείου 5.
Καλημέρα Στάθη και σ' ευχαριστώ για το ενδιαφέρον σου.
Εάν εννοείς την λύση σου ως συμβατή με το γνωστικό υπόβαθρο της Β' Λυκείου, το ίδιο ισχύει και για την προσέγγιση που έχω κατά νου. Δεν ξέρω όμως αν είναι προσιτή στους σημερινούς μαθητές της Β΄Λυκείου, εκτός εάν εννοείς αυτούς που ορμητικά μας προσπερνάνε...
Ελπίζω ότι θα διαφέρουν οι αποδείξεις "Αθηνών" και "Βρυξελλών". Όπως έχω πει αλλού, εκτός από την ικανοποίση που νοιώθει κάποιος λύνοντας ένα πρόβλημα, ιδιαίτερα αν είναι λίγο πιο σύνθετο, είναι ( για μένα ) επίσης συναρπαστική η "σκέψη του άλλου" για το ίδιο πρόβλημα.
Να είστε όλοι καλά και προσοχή στα μέτρα προφύλαξης από αυτόν τον διαβολοϊό που μας έτυχε.
Με αγάπη, Κώστας Βήττας.
Εάν εννοείς την λύση σου ως συμβατή με το γνωστικό υπόβαθρο της Β' Λυκείου, το ίδιο ισχύει και για την προσέγγιση που έχω κατά νου. Δεν ξέρω όμως αν είναι προσιτή στους σημερινούς μαθητές της Β΄Λυκείου, εκτός εάν εννοείς αυτούς που ορμητικά μας προσπερνάνε...
Ελπίζω ότι θα διαφέρουν οι αποδείξεις "Αθηνών" και "Βρυξελλών". Όπως έχω πει αλλού, εκτός από την ικανοποίση που νοιώθει κάποιος λύνοντας ένα πρόβλημα, ιδιαίτερα αν είναι λίγο πιο σύνθετο, είναι ( για μένα ) επίσης συναρπαστική η "σκέψη του άλλου" για το ίδιο πρόβλημα.
Να είστε όλοι καλά και προσοχή στα μέτρα προφύλαξης από αυτόν τον διαβολοϊό που μας έτυχε.
Με αγάπη, Κώστας Βήττας.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Προσδιορισμός σημείου 5.
Ας παρακάμψουμε την ανάλυση του προβλήματος (χάριν συντομίας) (άλλωστε η αντίστροφη πορεία της απόδειξης που ακολουθεί με μικροπαραλλαγές δείχνει τον ισχυρισμό για το ζητούμενο σημείο)vittasko έγραψε: ↑Δευ Δεκ 14, 2020 11:29 amΚαλημέρα σε όλους μετά από πολύ καιρό και σε συνθήκες του εγκλεισμού. Εύχομαι ότι καλύτερο στις οικογένειές σας.
Δίνονται δύο άνισοι κύκλοι κείμενοι εκτός αλλήλων και έστω , οι κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες αυτών, με τα σημεία έστω του κύκλου . Έστω , μεταβλητό σημείο μεταξύ των και ας είναι , οι εφαπτόμενες των κύκλων , αντιστοίχως. Προσδιορίστε την θέση του σημείου ωστε να είναι , όπου και .
f 181_t 68545.PNG
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Δεν είναι δύσκολο να βρεις το ζητούμενο σημείο. Ελπίζω να ευχαριστηθείτε την τεκμηρίωσή του.
Έστω ο περίκυκλος του τριγώνου , όπου το μέσο της και ας είναι το δεύτερο εκτός του ( αφού οι κύκλοι δεν είναι ίσοι.
Προφανώς τα ισοσκελή τρίγωνο είναι όμοια (παράλληλες (ως κάθετες στις ίδιες ευθείες (τις κοινές εφαπτόμενες των κύκλων) τις ίσες πλευρές τους ) και συνεπώς ισοσκελές τραπέζιο.
Θα αποδείξουμε ότι το ζητούμενο σημείο είναι το όπως ορίστηκε πιο πάνω
Αν τότε είναι: ( μη κυρτή) και ( κυρτή). Αλλά από την ομοιότητα των ισοσκελών τριγώνων προκύπτει ότι ( μη κυρτή – κυρτή ) οπότε από ομοκυκλικά.
Έστω . Τότε από
αφού άξονας συμμετρίας του βασικού σχήματος (άρα και του ισοσκελούς τραπεζίου ) και συνεπώς εγγράψιμο σε κύκλο και με οπότε λόγω συμμετρίας το είναι το μέσο της , δηλαδή
Είναι και επειδή είναι το ύψος του τριγώνου το σημείο είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου
Από προκύπτει ότι τα ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια οπότε
Με ακριβώς όμοιο τρόπο από την ομοιότητα των τριγώνων προκύπτει ότι
Από και συνεπώς το σημείο που προσδιορίστηκε ως το δεύτερο σημείο τομής (εκτός του μέσου της ) του περίκυκλου του τριγώνου με την είναι το ζητούμενο σημείο.
Στάθης
Υ.Σ. Εχω προβλήματα με το σχήμα. Θα προσπαθήσω αργότερα να το μικραίνω αν τα καταφέρω
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Προσδιορισμός σημείου 5.
Στάθη σ' ευχαριστώ για την ( των "Βρυξελλών" ) λύση σου με διαφορετική προσέγγιση. Ας δούμε και την λύση των "Αθηνών".
Έστω ότι έχει βρεθεί το ζητούμενο σημείο και ισχύει όπως ορίζεται στην εκφώνηση.
Έστω το σημείο και στο τρίγωνο έχουμε ότι το σημείο έστω , ταυτίζεται με την προβολή του σημείου επί της .
Γνωστό αποτέλεσμα, σύμφωνα με το οποίο και η προβολή του σημείου επί της ευθείας , έστω το σημείο , ανήκει επίσης στην ευθεία , όπου είναι διχοτόμοι του .
Ομοίως, θεωρούμε το τρίγωνο και έχουμε ότι το ως ανω σημείο , ανήκει επίσης στην ευθεία , στην οποία ανήκει και το σημείο έστω , ως η προβολή του σημείου επί της ευθείας .
Άρα, για το μεταβλητό σημείο εν γένει, προκύπτει ότι το σημείο , κείται επί της . Δια των σημείων , φέρνουμε τις παράλληλες ευθείες προς τις ευθείες αντιστοίχως, οι οποίες τέμνονται στο σημείο έστω , κείμενο επί της ευθείας , σύμφωνα με το παρακάτω γνωστό Λήμμα, λόγω του τραπεζίου ορθογωνίου εδώ αλλά και εν γένει με .
Έστω τα σημεία και .
Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα έχουμε
Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα έχουμε
Από λόγω .
Το σημείο δηλαδή, ταυτίζεται με το μέσον του τμήματος .
Επομένως, σύμφωνα πάλι με το Λήμμα ( ειδική περίπτωση ), έχουμε ότι το σημείο , ταυτίζεται με το σημείο τομής της από την δια του σημείου έστω παράλληλη ευθεία προς τις βάσεις του τραπεζίου ( εν γένει ) και άρα, είναι σταθερό σημείο.
Αποδεικνύεται έτσι, ότι και το ζητούμενο σημείο είναι επίσης σταθερό, ως το σημείο του οποίου η προβολή επί της ταυτίζεται με το σταθερό σημείο και το ζητούμενο έχει βρεθεί.
ΛΗΜΜΑ. Δίνεται τραπέζιο με και έστω , τυχόν σημείο επί της πλευράς του . Δια των σημείων , φέρνουμε τις παράλληλες ευθείες προς τις ευθείες αντιστοίχως, οι οποίες τέμνονται στο σημείο έστω . Αποδείξτε ότι .
Κώστας βήττας.
ΥΓ. Για την απόδειξη του ως άνω Λήμματος, βρήκα αυτήν την παραπομπή.
Έστω ότι έχει βρεθεί το ζητούμενο σημείο και ισχύει όπως ορίζεται στην εκφώνηση.
Έστω το σημείο και στο τρίγωνο έχουμε ότι το σημείο έστω , ταυτίζεται με την προβολή του σημείου επί της .
Γνωστό αποτέλεσμα, σύμφωνα με το οποίο και η προβολή του σημείου επί της ευθείας , έστω το σημείο , ανήκει επίσης στην ευθεία , όπου είναι διχοτόμοι του .
Ομοίως, θεωρούμε το τρίγωνο και έχουμε ότι το ως ανω σημείο , ανήκει επίσης στην ευθεία , στην οποία ανήκει και το σημείο έστω , ως η προβολή του σημείου επί της ευθείας .
Άρα, για το μεταβλητό σημείο εν γένει, προκύπτει ότι το σημείο , κείται επί της . Δια των σημείων , φέρνουμε τις παράλληλες ευθείες προς τις ευθείες αντιστοίχως, οι οποίες τέμνονται στο σημείο έστω , κείμενο επί της ευθείας , σύμφωνα με το παρακάτω γνωστό Λήμμα, λόγω του τραπεζίου ορθογωνίου εδώ αλλά και εν γένει με .
Έστω τα σημεία και .
Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα έχουμε
Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα έχουμε
Από λόγω .
Το σημείο δηλαδή, ταυτίζεται με το μέσον του τμήματος .
Επομένως, σύμφωνα πάλι με το Λήμμα ( ειδική περίπτωση ), έχουμε ότι το σημείο , ταυτίζεται με το σημείο τομής της από την δια του σημείου έστω παράλληλη ευθεία προς τις βάσεις του τραπεζίου ( εν γένει ) και άρα, είναι σταθερό σημείο.
Αποδεικνύεται έτσι, ότι και το ζητούμενο σημείο είναι επίσης σταθερό, ως το σημείο του οποίου η προβολή επί της ταυτίζεται με το σταθερό σημείο και το ζητούμενο έχει βρεθεί.
ΛΗΜΜΑ. Δίνεται τραπέζιο με και έστω , τυχόν σημείο επί της πλευράς του . Δια των σημείων , φέρνουμε τις παράλληλες ευθείες προς τις ευθείες αντιστοίχως, οι οποίες τέμνονται στο σημείο έστω . Αποδείξτε ότι .
Κώστας βήττας.
ΥΓ. Για την απόδειξη του ως άνω Λήμματος, βρήκα αυτήν την παραπομπή.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες