Πείραμα σε κύκλους

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Πείραμα σε κύκλους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Νοέμ 25, 2020 2:37 pm

Πείραμα  σε  κύκλους.png
Πείραμα σε κύκλους.png (12.96 KiB) Προβλήθηκε 334 φορές
Για τους άνισους κύκλους (O,R) και (K,r) , ισχύει : d=OK>R+r .

Σημείο S κινείται επί του (K) . Φέρουμε το "πάνω" εφαπτόμενο τμήμα ST .

α) Καθώς το S περιστρέφεται ποιες είναι οι οριακές θέσεις του T ; ( Ας τις ονομάσουμε T' , T'' ) .

β) Αν οι αντίστοιχες θέσεις του S είναι οι S' , S'' , υπολογίστε το άθροισμα των γωνιών \widehat{T'OT''}, \widehat{S'KS''} .

γ) Υπολογίστε το ελάχιστο του τμήματος ST .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4900
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Πείραμα σε κύκλους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Νοέμ 25, 2020 7:43 pm

Kαλησπέρα σε όλους. Θα πάω απ' ευθείας στο "ζουμερό" ερώτημα (γ).

25-11-2020 Γεωμετρία.png
25-11-2020 Γεωμετρία.png (18 KiB) Προβλήθηκε 286 φορές


Έστω  \displaystyle \widehat {TSO} = \varphi .

Στο ορθογώνιο τρίγωνο TOS είναι  \displaystyle \sigma \varphi \varphi  = \frac{{{\rm T}S}}{R} \Leftrightarrow TS = R\sigma \varphi \varphi .

Επίσης είναι  \displaystyle \eta \mu \varphi  = \frac{R}{{OS}} . Έστω  \displaystyle S',\;S'' το εσωτερικό και εξωτερικό αντίστοιχα σημείο τομής της ευθείας που ορίζουν τα O, K με τον (K,r).

Οπότε  \displaystyle OS' \le OS \le OS'' για κάθε σημείο S στον (K,r).

Έτσι,  \displaystyle \frac{R}{{OS'}} \ge \frac{R}{{OS}} \ge \frac{R}{{OS''}} \Leftrightarrow \eta \mu \varphi ' \ge \eta \mu \varphi  \ge \eta \mu \varphi ''

Άρα η γωνία \phi παίρνει μέγιστη κι ελάχιστη τιμή στα  \displaystyle S',\;S'' αντίστοιχα, αφού το ημίτονο αυξάνει στο διάστημα  \displaystyle \left[ {0,\;\frac{\pi }{2}} \right] .

Οπότε στα σημεία αυτά η  \displaystyle \sigma \varphi \varphi άρα και το TS παίρνουν αντίστοιχα το ελάχιστο και το μέγιστό τους.

Τότε  \displaystyle T{S_{\min }} = \sqrt {O{{S'}^2} - {R^2}}  = \sqrt {{{\left( {d - r} \right)}^2} - {R^2}}

Για το μέγιστο, βάζουμε στον παραπάνω τύπο: d+r.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10645
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πείραμα σε κύκλους

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Νοέμ 26, 2020 3:42 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Νοέμ 25, 2020 2:37 pm
Πείραμα σε κύκλους.pngΓια τους άνισους κύκλους (O,R) και (K,r) , ισχύει : d=OK>R+r .

Σημείο S κινείται επί του (K) . Φέρουμε το "πάνω" εφαπτόμενο τμήμα ST .

α) Καθώς το S περιστρέφεται ποιες είναι οι οριακές θέσεις του T ; ( Ας τις ονομάσουμε T' , T'' ) .

β) Αν οι αντίστοιχες θέσεις του S είναι οι S' , S'' , υπολογίστε το άθροισμα των γωνιών \widehat{T'OT''}, \widehat{S'KS''} .

γ) Υπολογίστε το ελάχιστο του τμήματος ST .
Καλησπέρα!

Για το (γ) ερώτημα: Έστω A το σημείο τομής της διακέντρου με τον κύκλο (K) και AB το εφαπτόμενο τμήμα στον κύκλο (O).
ΠΣΚ.png
ΠΣΚ.png (17.69 KiB) Προβλήθηκε 232 φορές
\displaystyle OS \ge OA \Leftrightarrow O{S^2} - {R^2} \ge O{A^2} - {R^2} \Leftrightarrow ST \ge AB. Άρα, \boxed{S{T_{\min }} = AB = \sqrt {{{(d - r)}^2} - {R^2}} }

με το ελάχιστο να επιτυγχάνεται όταν το S ταυτιστεί με το A.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης