S-530 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 1000
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

S-530 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Δευ Νοέμ 16, 2020 7:22 am

Kαλημέρα σας. Λίγο πριν φύγω για το σχολείο - προτιμώ να κάνω το διαδικτυακό μάθημα από εκεί - ένα θέμα από το πέμπτο τεύχος του Mathematical Reflections του 2020. Το πρότεινε ο An Zhenping, Xianyang Normal University, China.

Έστω τρίγωνο ABC εμβαδού K.

Αποδείξτε ότι
\displaystyle a\left ( s-a \right )cos\frac{B-C}{4}+b\left ( s-b \right )cos\frac{C-A}{4}+c\left ( s-c \right )cos\frac{A-B}{4}\geq 2\sqrt{3}K



Λέξεις Κλειδιά:
ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 1000
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: S-530 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Κυρ Νοέμ 22, 2020 7:13 pm

Νομίζω ότι έφτασε η στιγμή να γράψω την λύση σε αυτό το θέμα, είμαι υποχρεωμένος να το κάνω.

Για να αποδείξω την ανισότητα αυτή χρειάστηκε να σκαρφιστώ την ανισότητα της παρακάτω δημοσίευσης
viewtopic.php?f=181&t=67974, δηλαδή την
\displaystyle a^{2}\cdot cos\frac{B-C}{2}+b^{2}\cdot cos\frac{C-A}{2}+c^{2}\cdot cos\frac{A-B}{2}\geq 4\sqrt{3}E

Φυσικά είχα στο μυαλό και την δημοσίευση
viewtopic.php?f=112&t=55450
όπου είχα αποδείξει ότι τα \sqrt{a\left ( s-a \right )},\sqrt{b\left ( s-b \right )},\sqrt{c\left ( s-c \right )} είναι μήκη πλευρών τριγώνου με εμβαδόν το μισό του τριγώνου ABC.
Μάλιστα το τρίγωνο αυτό είναι όμοιο με το τρίγωνο D E F όπου D,E,F τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του ABC με τις πλευρές AB,AC,BC αντίστοιχα.
Δεν είναι πολύ δύσκολο να αποδειχθεί ότι
\displaystyle D=\frac{A+B}{2},E=\frac{A+C}{2},F=\frac{B+C}{2}
Αυτές είναι οι γωνίες του τριγώνου που μας απασχολεί, του τριγώνου με μήκη πλευρών \sqrt{a\left ( s-a \right )},\sqrt{b\left ( s-b \right )},\sqrt{c\left ( s-c \right )}.

To μόνο που απομένει πλέον είναι να εφαρμόσω την ανισότητα στο τρίγωνο με πλευρές \sqrt{a\left ( s-a \right )},\sqrt{b\left ( s-b \right )},\sqrt{c\left ( s-c \right )}.

Ισχύει ότι
\displaystyle a\left ( s-a \right )\cdot cos\frac{D-E}{2}+b\left ( s-b \right )\cdot cos\frac{F-D}{2}+c\left ( s-c \right )\cdot cos\frac{E-F}{2}\geq 4\sqrt{3}\cdot \frac{K}{2}\Leftrightarrow

\displaystyle a\left ( s-a \right )\cdot cos\frac{B-C}{4}+b\left ( s-b \right )\cdot cos\frac{C-A}{4}+c\left ( s-c \right )\cdot cos\frac{A-B}{4}\geq 2\sqrt{3}K


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης