Από σταθερό σημείο
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
Από σταθερό σημείο
αλλά έτσι ώστε οι να τέμνουν τον κύκλο στα σημεία αντίστοιχα .
Ονομάζουμε την τομή των και την τομή των .
Δείξτε ότι ο κύκλος διέρχεται από σταθερό σημείο .
Λέξεις Κλειδιά:
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Από σταθερό σημείο
Όμορφο πρόβλημα.
Ας δούμε την διαπραγμάτευση που ακολουθεί.
Θα χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα των αρμονικών συζυγών των που είναι τα εδώ στην περίπτωση μας με βάση το πλήρες τετράπλευρο
και που λέει ότι: αν είναι το μέσον του Πράγματι παίρνουμε:
άρα ο κύκλος περνά από το μέσο του που είναι σταθερό.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Re: Από σταθερό σημείο
Ας είναι το σημείο τομής των και .Φέρνω την κάθετη στο σημείο επί την και τέμνει το ημικύκλιο, κέντρου και διαμέτρου , στο .
Η πολική του ως προς τον αρχικό κύκλο είναι η και έτσι η τετράδα :
είναι αρμονική με άμεσες συνέπειες :
Το είναι εφαπτόμενο τμήμα του ημικυκλίου και από το Θ. Ευκλείδη στο θα έχω ταυτόχρονα :
Δηλαδή το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, αφού και λόγω της δύναμης του ως προς τον κύκλο , ισχύει:
Re: Από σταθερό σημείο
Έστω πάλι η τομή των και το σημείο τομής της προέκτασης της με τον κύκλο .
Ως γνωστό το είναι εφαπτόμενο τμήμα στο κύκλο ( κατασκευή εφαπτομένης κύκλου από εξωτερικό σημείο , χωρίς περαιτέρω χρήση του διαβήτη)
Ας είναι . Επειδή τα σημεία είναι αρμονικά συζυγή ως προς τα
αν αντιστρέψω τον κύκλο με πόλο το και δύναμη αντιστροφής
θα προκύψει ευθεία που θα διέρχεται από το και από το μέσο του .
Δηλαδή το ομόλογο του σ αυτή την αντιστροφή είναι το και άρα του τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Από σταθερό σημείο
Μόνο για λόγους πλουραλισμού και για να δούμε την επίμαχη εγγραψιμότητα και γωνιακά (πάντα βέβαια με τη βοήθεια της αρμονικότητας) αλλά και για την παρέα των έξοχων συναδέλφων Έστω το σημείο τομής των εφαπτομένων του κύκλου στα .
Από το Θεώρημα του Pascal για το εκφυλισμένο (σε τετράπλευρο) εγγεγραμμένο στον κύκλο μη κυρτό εξάγωνο προκύπτει ότι τα σημείο είναι συνευθειακά .
Από το πλήρες τετράπλευρο προκύπτει ότι η σειρά είναι αρμονική και συνεπώς και η δέσμη είναι αρμονική , με .
Από το αρμονικό τετράπλευρο προκύπτει ότι η δέσμη είναι αρμονική και από την ταύτιση των τριών ακτινών των δεσμών προκύπτει ότι θα ταυτίζονται και οι τέταρτες ακτίνες τους δηλαδή συνευθειακά
Εξάλλου είναι η ευθεία της συμμετροδιαμέσου του τριγώνου και συνεπώς , όπου το σημείο τομής της διαμέσου του με τον .
Έτσι και συνεπώς το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο , οπότε ο περίκυκλος του τριγώνου διέρχεται από το σταθερό μέσο της σταθερής και το ζητούμενο έχει αποδειχτεί
Από το μακρινό Βέλγιο που φλέγεται από τον κορονοϊό με περισσότερα από 21.000 κρούσματα μόνον εχθές !!
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
-
- Δημοσιεύσεις: 61
- Εγγραφή: Σάβ Αύγ 10, 2019 9:20 am
Re: Από σταθερό σημείο
Κάτι παρόμοιο
Έστω η τομή της με την . Είναι γνωστό ότι , οπότε αν το μέσο της η σχέση δίνει
και το ζητούμενο έπεται.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες