Λόγος πλευρών

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9692
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Λόγος πλευρών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Οκτ 17, 2020 5:39 pm

AD, BE είναι οι διχοτόμοι τριγώνου ABC με BE=2AD. Να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{a}{b}

σε καθεμία από τις περιπτώσεις: I) \widehat A=90^\circ ............ και II) b=c

Τα σχήματα αν και επιθυμητά, δεν είναι απαραίτητα. Ωστόσο, ακόμα κι αν είναι απόλυτα ακριβή, από μόνα τους δεν αποτελούν λύση



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7438
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Λόγος πλευρών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Οκτ 17, 2020 11:02 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Οκτ 17, 2020 5:39 pm
AD, BE είναι οι διχοτόμοι τριγώνου ABC με BE=2AD. Να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{a}{b}

σε καθεμία από τις περιπτώσεις: I) \widehat A=90^\circ ............ και II) b=c

Τα σχήματα αν και επιθυμητά, δεν είναι απαραίτητα. Ωστόσο, ακόμα κι αν είναι απόλυτα ακριβή, από μόνα τους δεν αποτελούν λύση
Μια μετρική λύση του για το πρώτο ερώτημα γιατί υπάρχει ένα «κενό» τεκμηρίωσης με τον τρόπο που αποσύρω και θα το επανεξετάσω .

Ας είναι AD = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BE = 2k. Αν φέρω από το C παράλληλη στην ADκαι

Κόψει την AB στο Z θα είναι ZC = b\sqrt 2 και αφού

\dfrac{k}{{b\sqrt 2 }} = \dfrac{{BD}}{{BC}} = \dfrac{c}{{b + c}} \Rightarrow k = \dfrac{{bc\sqrt 2 }}{{b + c}} \Rightarrow \boxed{2k = \dfrac{{2bc\sqrt 2 }}{{b + c}}}\,\,\left( 1 \right).

Από την άλλη μεριά B{E^2} = BA \cdot BC - EA \cdot EC δηλαδή:

4{k^2} = ac - \dfrac{{a{b^2}c}}{{{{\left( {a + c} \right)}^2}}} . Λόγω της \left( 1 \right) και με {c^2} = {a^2} - {b^2} αν θέσω a = bx θα προκύψει :

x = 2\,\,,x = 1\,\,,\,\,x =  - 1\, και άρρητες ρίζες που δεν επαληθεύουν . Τελικά: x = 2



Η δεύτερη είναι ωραία.
Λόγος πλευρών_Bisbikis_b.png
Λόγος πλευρών_Bisbikis_b.png (13.27 KiB) Προβλήθηκε 116 φορές
Ας είναι BE = 2k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD = k . επίσης : \left\{ \begin{gathered} 
  AE = \frac{{{b^2}}}{{a + b}} \hfill \\ 
  EC = \frac{{ab}}{{a + b}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. .

Από το Π. Θ. στο \vartriangle ADC και από τον τύπο: B{E^2} = BA \cdot BC - EA \cdot EC θα έχω ταυτόχρονα :

\left\{ \begin{gathered} 
  {k^2} = {b^2} - \frac{{{a^2}}}{4} \hfill \\ 
  4{k^2} = ab - \frac{{a{b^3}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. διώχνω το k και προκύπτει:

4{b^2} - {a^2} - ab + \dfrac{{a{b^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} θέτω \boxed{\boxed{a = bx\,}\,\,a,b,x > 0} και προκύπτει :

\dfrac{{{b^2}\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Rightarrow {x^2} - x - 1 = 0 \Rightarrow \boxed{x = \varphi }

Παρατηρήσεις:

Οι γωνίες στα B,C είναι απ'ο 36^\circ

Έχει κι άλλους τρόπους λύσης

( π.χ. μια γωνία διπλάσια άλλης και αναζητήσατε κάτι ωραίες περιπτώσεις από τις αναρτήσεις του Γιώργου του Μήτσιου )


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης