Υπολογίσιμο αλλά μη κατασκευάσιμο

#1

: Υπολογίσιμο αλλά μη κατασκευάσιμο.png (7.67 KiB) Προβλήθηκε 775 φορές

είναι το ύψος τριγώνου ABC

με

Αν

είναι το ορθόκεντρο,

το μέσο της

και

να υπολογίσετε το μήκος του HM=x.

(Μη διστάσετε να χρησιμοποιήσετε λογισμικό

).

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 24, 2020 7:53 pm
Υπολογίσιμο αλλά μη κατασκευάσιμο.png
είναι το ύψος τριγώνου με Αν είναι το ορθόκεντρο, το μέσο της

και να υπολογίσετε το μήκος του (Μη διστάσετε να χρησιμοποιήσετε λογισμικό ).

: υπολογίσιμο αλλά όχι κατασκευάσιμο.png (16.64 KiB) Προβλήθηκε 715 φορές

Επιλέγω Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με αρχή το

και οριζόντιο άξονα την ευθεία

.

$\boxed{r = \frac{a}{2}\sqrt {\sqrt[3]{{\frac{{2\sqrt {33} }}{9} + \frac{{26}}{{27}}}} - \sqrt[3]{{\frac{{2\sqrt {33} }}{9} - \frac{{26}}{{27}}}} - \frac{1}{3}} }$

Ο κύκλος $\left( {M,r} \right)$ τέμνει την παραβολή με εξίσωση : $\boxed{ay = - {x^2} + \frac{{{a^2}}}{4}}$ στο

.

Με Ευκλείδεια γεωμετρία:

: Υπολογίσιμο αλλά όχι κατασκευάσιμο_Ευκλείδεια.png (17.38 KiB) Προβλήθηκε 671 φορές

$\boxed{x = \frac{a}{6}\left( {\sqrt[3]{{3\sqrt {33} + 17}} - \sqrt[3]{{3\sqrt {33} - 17}} - 1} \right)}$

#3

Δίνω τη λύση με Ευκλείδεια γεωμετρία.

Γράφω τον κύκλο $\left( {A,B,C} \right)$ . Το ύψος

τον τέμνει στο

και το ύψος

στο

.

Είναι $HD = DZ = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,HE = EZ$ κι αφού το

είναι μέσο του

θα είναι:

.

Ισχύουν : $\left\{ \begin{gathered} AH \cdot HZ = BH \cdot HE \hfill \\ H{D^2} = DB \cdot DM \hfill \\ H{M^2} = MD \cdot MB \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {a - y} \right)2y = 2B{H^2} \hfill \\ {y^2} = DM\left( {\frac{a}{2} - DM} \right) \hfill \\ {x^2} = MD \cdot \frac{a}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {a - y} \right)y = \frac{{{a^2}}}{4} - {x^2} \hfill \\ {y^2} = DM\left( {\frac{a}{2} - DM} \right) \hfill \\ MD = \frac{{2{x^2}}}{a} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Υπολογίσιμο αλλά όχι κατασκευάσιμο_Ευκλείδεια.png (17.38 KiB) Προβλήθηκε 613 φορές

Άρα οι δύο πρώτες λόγω της τρίτης δίδουν: $\left\{ \begin{gathered} y(a - y) = \dfrac{{{a^2}}}{4} - {x^2}\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ {y^2} = \dfrac{{2{x^2}}}{a}\left( {\dfrac{a}{2} - \dfrac{{2{x^2}}}{a}} \right)\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ αν $\boxed{{x^2} = t}\,\,\left( * \right)$

Η (1)

δίδει δεκτή ρίζα : $y = \dfrac{a}{2} - \sqrt t$ και η $\left( 2 \right)$ γίνεται : $\dfrac{{{a^4} + 16{t^2}}}{{4{a^2}}} - a\sqrt t = 0$ ή λόγω $\left( * \right)$

$16{x^4} - 4{a^3}x + {a^4} = 0$ , με δεκτή ρίζα: $\boxed{x = \frac{a}{6}\left( {\sqrt[3]{{3\sqrt {33} + 17}} - \sqrt[3]{{3\sqrt {33} - 17}} - 1} \right)}$

#4

Αν

είναι μέσο του AD,

θα δείξω πρώτα ότι HN=HM=x.

Είναι, $\boxed{D{M^2} = {x^2} - {\left( {\frac{a}{2} - HN} \right)^2}}$ (1)

$\displaystyle AD \cdot DH = AD \cdot DE = BD \cdot DC \Leftrightarrow a\left( {\frac{a}{2} - HN} \right) = \left( {\frac{a}{2} - DM} \right)\left( {\frac{a}{2} + DM} \right) \Leftrightarrow$

$\displaystyle \frac{{{a^2}}}{2} - aHN = \frac{{{a^2}}}{4} - D{M^2}\mathop = \limits^{(1)} \frac{{{a^2}}}{4} - {x^2} + \frac{{{a^2}}}{4} - aHN + H{N^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{HN=x}$

: Υπολογίσιμο αλλά μη κατασκευάσιμο.β.png (13.33 KiB) Προβλήθηκε 552 φορές

$\displaystyle HM||AC \Leftrightarrow \frac{{DM}}{{MC}} = \frac{{DH}}{{HA}} \Leftrightarrow \frac{{2DM}}{a} = \frac{{\frac{a}{2} - x}}{{\frac{a}{2} + x}} \Leftrightarrow DM = \frac{{a(a - 2x)}}{{2(a + 2x)}}$

Αλλά, $\displaystyle {x^2} = \frac{a}{2}DM = \frac{{{a^2}(a - 2x)}}{{4(a + 2x)}} \Leftrightarrow 8{x^3} + 4a{x^2} + 2{a^2}x - {a^3} = 0,$ απ' όπου παίρνουμε τη δεκτή ρίζα

$\boxed{x = \frac{a}{6}\left( {\sqrt[3]{{3\sqrt {33} + 17}} - \sqrt[3]{{3\sqrt {33} - 17}} - 1} \right)}$

Υπολογίσιμο αλλά μη κατασκευάσιμο

Υπολογίσιμο αλλά μη κατασκευάσιμο

Re: Υπολογίσιμο αλλά μη κατασκευάσιμο

Re: Υπολογίσιμο αλλά μη κατασκευάσιμο

Re: Υπολογίσιμο αλλά μη κατασκευάσιμο

Μέλη σε σύνδεση