Υπολογίσιμο αλλά μη κατασκευάσιμο

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9781
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Υπολογίσιμο αλλά μη κατασκευάσιμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Αύγ 24, 2020 7:53 pm

Υπολογίσιμο αλλά μη κατασκευάσιμο.png
Υπολογίσιμο αλλά μη κατασκευάσιμο.png (7.67 KiB) Προβλήθηκε 360 φορές
AD είναι το ύψος τριγώνου ABC με AD=BC=a. Αν H είναι το ορθόκεντρο, M το μέσο της BC

και HM||AC, να υπολογίσετε το μήκος του HM=x. (Μη διστάσετε να χρησιμοποιήσετε λογισμικό ;)).



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7528
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Υπολογίσιμο αλλά μη κατασκευάσιμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Αύγ 25, 2020 3:41 am

george visvikis έγραψε:
Δευ Αύγ 24, 2020 7:53 pm
Υπολογίσιμο αλλά μη κατασκευάσιμο.png
AD είναι το ύψος τριγώνου ABC με AD=BC=a. Αν H είναι το ορθόκεντρο, M το μέσο της BC

και HM||AC, να υπολογίσετε το μήκος του HM=x. (Μη διστάσετε να χρησιμοποιήσετε λογισμικό ;)).
υπολογίσιμο αλλά όχι κατασκευάσιμο.png
υπολογίσιμο αλλά όχι κατασκευάσιμο.png (16.64 KiB) Προβλήθηκε 300 φορές
Επιλέγω Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με αρχή το M και οριζόντιο άξονα την ευθεία BC.

\boxed{r = \frac{a}{2}\sqrt {\sqrt[3]{{\frac{{2\sqrt {33} }}{9} + \frac{{26}}{{27}}}} - \sqrt[3]{{\frac{{2\sqrt {33} }}{9} - \frac{{26}}{{27}}}} - \frac{1}{3}} }


Ο κύκλος \left( {M,r} \right) τέμνει την παραβολή με εξίσωση : \boxed{ay =  - {x^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} στο H.

HM = r

Με Ευκλείδεια γεωμετρία:
Υπολογίσιμο αλλά όχι κατασκευάσιμο_Ευκλείδεια.png
Υπολογίσιμο αλλά όχι κατασκευάσιμο_Ευκλείδεια.png (17.38 KiB) Προβλήθηκε 256 φορές


\boxed{x = \frac{a}{6}\left( {\sqrt[3]{{3\sqrt {33}  + 17}} - \sqrt[3]{{3\sqrt {33}  - 17}} - 1} \right)}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7528
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Υπολογίσιμο αλλά μη κατασκευάσιμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Αύγ 28, 2020 2:06 am

Δίνω τη λύση με Ευκλείδεια γεωμετρία.

Γράφω τον κύκλο \left( {A,B,C} \right) . Το ύψος BE τον τέμνει στο F και το ύψος AD στο Z.

Είναι HD = DZ = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,HE = EZ κι αφού το H είναι μέσο του BE θα είναι: BH = HE = EZ.

Ισχύουν : \left\{ \begin{gathered} 
  AH \cdot HZ = BH \cdot HE \hfill \\ 
  H{D^2} = DB \cdot DM \hfill \\ 
  H{M^2} = MD \cdot MB \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \left( {a - y} \right)2y = 2B{H^2} \hfill \\ 
  {y^2} = DM\left( {\frac{a}{2} - DM} \right) \hfill \\ 
  {x^2} = MD \cdot \frac{a}{2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \left( {a - y} \right)y = \frac{{{a^2}}}{4} - {x^2} \hfill \\ 
  {y^2} = DM\left( {\frac{a}{2} - DM} \right) \hfill \\ 
  MD = \frac{{2{x^2}}}{a} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.
Υπολογίσιμο αλλά όχι κατασκευάσιμο_Ευκλείδεια.png
Υπολογίσιμο αλλά όχι κατασκευάσιμο_Ευκλείδεια.png (17.38 KiB) Προβλήθηκε 198 φορές
Άρα οι δύο πρώτες λόγω της τρίτης δίδουν: \left\{ \begin{gathered} 
  y(a - y) = \dfrac{{{a^2}}}{4} - {x^2}\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ 
  {y^2} = \dfrac{{2{x^2}}}{a}\left( {\dfrac{a}{2} - \dfrac{{2{x^2}}}{a}} \right)\,\,\left( 2 \right) \hfill \\  
\end{gathered}  \right. αν \boxed{{x^2} = t}\,\,\left(  *  \right)

Η (1) δίδει δεκτή ρίζα : y = \dfrac{a}{2} - \sqrt t και η \left( 2 \right) γίνεται : \dfrac{{{a^4} + 16{t^2}}}{{4{a^2}}} - a\sqrt t  = 0 ή λόγω \left(  *  \right)

16{x^4} - 4{a^3}x + {a^4} = 0, με δεκτή ρίζα: \boxed{x = \frac{a}{6}\left( {\sqrt[3]{{3\sqrt {33}  + 17}} - \sqrt[3]{{3\sqrt {33}  - 17}} - 1} \right)}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9781
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Υπολογίσιμο αλλά μη κατασκευάσιμο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Αύγ 28, 2020 7:52 pm

Αν N είναι μέσο του AD, θα δείξω πρώτα ότι HN=HM=x. Είναι, \boxed{D{M^2} = {x^2} - {\left( {\frac{a}{2} - HN} \right)^2}} (1)

\displaystyle AD \cdot DH = AD \cdot DE = BD \cdot DC \Leftrightarrow a\left( {\frac{a}{2} - HN} \right) = \left( {\frac{a}{2} - DM} \right)\left( {\frac{a}{2} + DM} \right) \Leftrightarrow

\displaystyle \frac{{{a^2}}}{2} - aHN = \frac{{{a^2}}}{4} - D{M^2}\mathop  = \limits^{(1)} \frac{{{a^2}}}{4} - {x^2} + \frac{{{a^2}}}{4} - aHN + H{N^2} \Leftrightarrow \boxed{HN=x}
Υπολογίσιμο αλλά μη κατασκευάσιμο.β.png
Υπολογίσιμο αλλά μη κατασκευάσιμο.β.png (13.33 KiB) Προβλήθηκε 137 φορές
\displaystyle HM||AC \Leftrightarrow \frac{{DM}}{{MC}} = \frac{{DH}}{{HA}} \Leftrightarrow \frac{{2DM}}{a} = \frac{{\frac{a}{2} - x}}{{\frac{a}{2} + x}} \Leftrightarrow DM = \frac{{a(a - 2x)}}{{2(a + 2x)}}

Αλλά, \displaystyle {x^2} = \frac{a}{2}DM = \frac{{{a^2}(a - 2x)}}{{4(a + 2x)}} \Leftrightarrow 8{x^3} + 4a{x^2} + 2{a^2}x - {a^3} = 0, απ' όπου παίρνουμε τη δεκτή ρίζα

\boxed{x = \frac{a}{6}\left( {\sqrt[3]{{3\sqrt {33}  + 17}} - \sqrt[3]{{3\sqrt {33}  - 17}} - 1} \right)}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης