Ίσες γωνίες

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 847
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Ίσες γωνίες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Ιουν 05, 2020 2:38 pm

Καλησπέρα!
Δίνεται τρίγωνο \rm ABC με \rm a^2=\dfrac{b^4+c^4}{b^2+c^2} και θεωρούμε \rm Br_1,Br_2 το πρώτο και δεύτερο αντίστοιχα σημεία \rm Brocard του \rm ABC.

Να δείξετε ότι \rm \angle Br_1Br_2B=\angle C
321.PNG
321.PNG (18.32 KiB) Προβλήθηκε 561 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10735
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ίσες γωνίες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιουν 05, 2020 7:48 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Παρ Ιουν 05, 2020 2:38 pm
Καλησπέρα!
Δίνεται τρίγωνο \rm ABC με \rm a^2=\dfrac{b^4+c^4}{b^2+c^2} και θεωρούμε \rm Br_1,Br_2 το πρώτο και δεύτερο αντίστοιχα σημεία \rm Brocard του \rm ABC.

Να δείξετε ότι \rm \angle Br_1Br_2B=\angle C

321.PNG
Καλησπέρα!

Για λόγους ευκολίας στην πληκτρολόγηση βάζω B_1, B_2 τα σημεία Brocard. Η BB_1 τέμνει την B_2C στο E.

Αν \omega η γωνία Brocard, θα χρησιμοποιήσω τον τύπο \displaystyle \cot \omega  = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4(ABC)}}, απ' όπου έχω:
Ίσες γωνίες.Π.png
Ίσες γωνίες.Π.png (13.72 KiB) Προβλήθηκε 519 φορές
\displaystyle \frac{{{b^4} + {c^4}}}{{{b^2} + {c^2}}} + {b^2} + {c^2} = 4(ABC)\cot \omega  \Leftrightarrow \boxed{(ABC) = \frac{{{b^4} + {c^4} + {b^2}{c^2}}}{{2({b^2} + {c^2})\cot \omega }}} (1)

Ο νόμος συνημιτόνου στο ABC δίνει \displaystyle \cos A = \frac{{bc}}{{{b^2} + {c^2}}} \Rightarrow \sin A = \frac{{\sqrt {{b^4} + {c^4} + {b^2}{c^2}} }}{{{b^2} + {c^2}}}

\displaystyle (ABC) = \frac{1}{2}bc\sin A\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} \frac{{{b^4} + {c^4} + {b^2}{c^2}}}{{({b^2} + {c^2})\cot \omega }} = ({b^2} + {c^2})\cos A\sin A \Leftrightarrow

\displaystyle \frac{{{b^4} + {c^4} + {b^2}{c^2}}}{{{{({b^2} + {c^2})}^2}}}\tan \omega  = \sin A\cos A \Leftrightarrow {\sin ^2}A\tan \omega  = \sin A\cos A \Leftrightarrow \tan \omega  = \cot A,

απ' όπου \displaystyle \widehat A + \omega  = 90^\circ . Ισχυρίζομαι τώρα ότι E είναι το περίκεντρο του ABC, (*) άρα EB_1=EB_2,

οπότε \displaystyle {B_1}\widehat {{B_2}}E = \widehat A \Leftrightarrow {B_2}{B_1} \bot BC, δηλαδή το B_2DCF είναι εγγράψιμο και το ζητούμενο έπεται.



(*) Απόδειξη: Νόμος συνημιτόνου στο ισοσκελές EBC:

\displaystyle {a^2} = 2E{B^2}(1 + \cos 2\omega ) = 4E{B^2}co{s^2}\omega  = 4E{B^2}{\sin ^2}A \Leftrightarrow EB = EC = R που αποδεικνύει το ζητούμενο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης