Τόπος σημείου τομής

#1

: Τόπος σημείου τομής.png (14.3 KiB) Προβλήθηκε 862 φορές

Δίνεται τετράπλευρο ABCD.

Πάνω στις ημιευθείες AB, DC

θεωρώ τα σημεία S, T

αντίστοιχα,

ώστε AS=DT.

Αν οι

τέμνονται στο

να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του

#2

Παραπλανητικό θέμα. Η

κ.λπ. δεν χρειάζεται. Προτείνω το εξής:

Αρκεί να δείξουμε ότι τρείς τυχαίες θέσεις του σημείου

είναι συνευθειακές.

Πραγματικά, αν πάρουμε τα σημεία S_1, S_2, S_3

και

, τότε τα αντίστοιχα σημεία M_1,M_2,M_3

είναι συνευθειακά, αφού οι δέσμες (A.DT_1 T_2T_3)

και

έχουν κοινή ακτίνα την

και, προφανώς, έχουν ίσους διπλούς λόγους.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 05, 2020 2:09 pm
Τόπος σημείου τομής.png
Δίνεται τετράπλευρο Πάνω στις ημιευθείες θεωρώ τα σημεία αντίστοιχα,

ώστε Αν οι τέμνονται στο να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του

: 322.PNG (21 KiB) Προβλήθηκε 722 φορές

Θα προσδιορίσω την ευθεία που κινείται το $\rm M$ .Δεν βάζω τα $\rm B,C$ στο σχήμα.Έστω $\rm E\equiv AS\cap DT$ και $\rm R$ σημείο της ημιευθείας $\rm DE$ ώστε $\rm DR=AE$ .Όταν τα $\rm S,T$ τείνουν στο άπειρο γίνεται $\rm M$ η τομή των παραλλήλων από τα $\rm A,D$ στις DE,AE

αντίστοιχα.Όπως βλέπουμε και εδώ το $\rm M$ θα κινείται στην $\rm RL$ που είναι και παράλληλη στην εσωτερική διχοτόμο της $\rm \angle AED$ .Δεν διατρέχει όμως όλη την ευθεία,ο γεωμετρικός τόπος είναι το τμήμα $\rm QL$ με $\rm Q\equiv AD\cap RL$

Έγινε διόρθωση τυπογραφικού,ευχαριστώ τον κ.Σταύρο

#4

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 07, 2020 5:55 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 05, 2020 2:09 pm
Τόπος σημείου τομής.png
Δίνεται τετράπλευρο Πάνω στις ημιευθείες θεωρώ τα σημεία αντίστοιχα,

ώστε Αν οι τέμνονται στο να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του
322.PNG
Θα προσδιορίσω την ευθεία που κινείται το $\rm M$ .Δεν βάζω τα $\rm B,C$ στο σχήμα.Έστω $\rm E\equiv AS\cap DT$ και $\rm R$ σημείο της ημιευθείας $\rm DE$ ώστε $\rm DE=AE$ .Όταν τα $\rm S,T$ τείνουν στο άπειρο γίνεται $\rm M$ η τομή των παραλλήλων από τα $\rm A,D$ στις αντίστοιχα.Όπως βλέπουμε και εδώ το $\rm M$ θα κινείται στην $\rm RL$ που είναι και παράλληλη στην εσωτερική διχοτόμο της $\rm \angle AED$ .Δεν διατρέχει όμως όλη την ευθεία,ο γεωμετρικός τόπος είναι το τμήμα $\rm QL$ με $\rm Q\equiv AD\cap RL$

Όπως πήρες DR=AE

πάρε και

και έχεις την

#5

Λίγο διαφορετικά από το φαινόμενο Πρόδρομος

Η παράλληλη από το

στην

τέμνει την παράλληλη από το

στην

στο

και η

τέμνει την

στο

Τέλος οι

τέμνονται στο

και οι

στο

Προφανώς το

είναι σταθερό. Αρκεί να δείξω πως και το

είναι σταθερό.

: Τόπος σημείου τομής.β.png (14.5 KiB) Προβλήθηκε 660 φορές

Από Ceva στο ALD:

$\displaystyle \frac{{AE}}{{EL}} \cdot \frac{{LF}}{{FD}} \cdot \frac{{DQ}}{{QA}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{AS}}{{DL}} \cdot \frac{{AL}}{{DT}} \cdot \frac{{DQ}}{{QA}} = 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{AS = DT} \frac{{DQ}}{{QA}} = \frac{{DL}}{{AL}} = c$ (σταθερό)

Η

είναι λοιπόν διχοτόμος της $A\widehat LD.$

S.E.Louridas · #6

Επειδή είδα το πρόβλημα, μου άρεσε σκέφτηκα για άλλη λύση εκτός μετρικής Γεωμετρίας αλλά και να δούμε και άλλες μεθοδολογίες επίλυσης για το θέμα αυτό είτε εφαρμοζόμενες και σε άλλα θέματα. Οπότε και μόνο για λόγους Μαθηματικού πλουραλισμού έχουμε:

Επειδή είδα το πρόβλημα, μου άρεσε, οπότε και μόνο για λόγους Μαθηματικού πλουραλισμού έχουμε: Οι κύκλοι c, e, d, f

διέρχονται από το ίδιο σημείο

Είναι το σημείο Miguel ή αποδεικνύεται σε «δύο γραμμές». Είναι καθαρό ότι οι κύκλοι c,e

είναι ίσοι. Θεωρούμε τις LM, MN

που είναι παράλληλες αντίστοιχα στις OT, OS

, αφού $\angle MNQ = \angle MTQ = \angle \frac{O}{2} = \angle MAQ = \angle MLN.$ που τέμνουν τις OS,OT

αντίστοιχα στα σημεία C,E.

Παρατηρούμε ότι $\angle ASM = \angle NQD \Rightarrow MA = DN,\;\angle E = \angle C = \angle O,$ $\angle OAM = \angle OQT = \angle NDE,$ επομένως τα τρίγωνα MAC,NQD

είναι ίσα. Έτσι παίρνουμε $AC = DE \Rightarrow MN = ME - EN = OC - OE = OA - OD\;ct.$ Όμως ισχύει $\angle MNL = \angle NLM = \angle \frac{O}{2},$ που οδηγεί στο ότι το τρίγωνο MNL

διατηρεί το μέγεθός του. Άρα και το ύψος του από την κορυφή

διατηρεί το μέτρο του. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο

κινείται σε σταθερή ευθεία

.

: δδδδ.png (81.61 KiB) Προβλήθηκε 599 φορές

Τόπος σημείου τομής

Τόπος σημείου τομής

Re: Τόπος σημείου τομής

Re: Τόπος σημείου τομής

Re: Τόπος σημείου τομής

Re: Τόπος σημείου τομής

Re: Τόπος σημείου τομής

Μέλη σε σύνδεση