Σελίδα 1 από 1

Σύνθετος λόγος

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Μάιος 21, 2020 11:31 am
από george visvikis
Σύνθετος λόγος.png
Σύνθετος λόγος.png (17.7 KiB) Προβλήθηκε 584 φορές
Δύο κύκλοι (K, R), (L, r) τέμνονται υπό γωνία \theta<90^\circ. Μια διάμετρος AB του κύκλου (K) τέμνει τον (L) στα

C, D, ώστε τα σημεία A, C, B, D να είναι διαδοχικά. Αν το μικρό τόξο \overset\frown{CD} έχει μέτρο 2\omega να δείξετε ότι η παράσταση

\dfrac{AC}{BC}:\dfrac{AD}{BD} είναι ανεξάρτητη των ακτίνων των δύο κύκλων και εξαρτάται μόνο από τις γωνίες \theta και \omega.

Re: Σύνθετος λόγος

Δημοσιεύτηκε: Παρ Μάιος 22, 2020 1:11 pm
από rek2
Αντιστρέφουμε με κέντρο K ένα από τα σημεία τομής των δύο κύκλων , και τυχαία ακτίνα.

Ας είναι a, b,c, d τα αντίστροφα σημεία των A, B, C, D, τα οποία είναι, προφανώς, ομοκυκλικά. Οι δύο κύκλοι αντιστρέφονται στις ευθείες ab,cd.

Ο σύνθετος λόγος μεταφέρεται στον αντίστοιχο λόγο των ακτίνων Ka, Kb, Kc, Kd, ο οποίος εξαρτάται από τα τόξα ac, cb, bd, da του κύκλου acbd, όπως προκύπτει αν τον γράψουμε συναρτήσει των αντίστοιχων ημιτόνων των γωνιών των ακτίνων αυτών.

Αυτά ικανοποιούν τις σχέσεις ac+cb=180^o, bd+da=180^o, ( λόγω της ορθής γωνίας AKB) και

ac+bd=2\theta ( Η μία γωνία των ευθειών που αντιστρέφονται οι δύο κύκλοι είναι ίση με θ) και

cb+bd=180^o-\omega , (αντίστοιχη εγγεγραμμένη σε τόξο κύκλου)

Το σύστημα των τεσσάρων εξισώσεων έχει μοναδική λύση, ως προς ac, cb, bd, da ( η ορίζουσά του είναι -2), η οποία είναι συνάρτηση μόνο των θ και ω, που τελειώνει την απόδειξη.

Re: Σύνθετος λόγος

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μάιος 24, 2020 9:58 am
από george visvikis
Σ' ευχαριστώ Κώστα για την απόδειξη. Ας δούμε όμως τον υπολογισμό αυτής της παράστασης.

Έστω M το μέσο του CD. Είναι \boxed{CD = 2r\sin \omega} (1) και με νόμο συνημιτόνου στο KSL,

\displaystyle K{L^2} = {R^2} + {r^2} - 2Rr\cos (180^\circ  - \theta ) \Leftrightarrow \boxed{K{L^2} = {R^2} + {r^2} + 2Rr\cos \theta} (2)
Σύνθετος λόγος.β.png
Σύνθετος λόγος.β.png (21.08 KiB) Προβλήθηκε 397 φορές
\displaystyle \frac{{AC}}{{BC}}:\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AC \cdot BD}}{{BC \cdot AD}} = \frac{{(R + KC)(KD - R)}}{{(R - KC)(R + KD)}} = \frac{{R \cdot KD - {R^2} + KC \cdot KD - R \cdot KC}}{{{R^2} + R \cdot KD - R \cdot KC - KC \cdot KD}}

Αλλά, \displaystyle KC \cdot KD = K{L^2} - {r^2}\mathop  = \limits^{(2)} {R^2} + 2Rr\cos \theta, οπότε η ζητούμενη παράσταση γράφεται:

\displaystyle \frac{{AC}}{{BC}}:\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{R(KD - KC) + 2Rr\cos \theta }}{{R(KD - KC) - 2Rr\cos \theta }} = \frac{{R \cdot CD + 2Rr}}{{R \cdot CD - 2Rr}}\mathop  = \limits^{(1)} \frac{{2Rr(\sin \omega  + \cos \theta )}}{{2Rr(\sin \omega  - \cos \theta )}}

Επομένως, \boxed{\frac{{AC}}{{BC}}:\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{\sin \omega  + \cos \theta }}{{\sin \omega  - \cos \theta }}}