Αντιστρέφουμε με κέντρο
ένα από τα σημεία τομής των δύο κύκλων , και τυχαία ακτίνα.
Ας είναι
τα αντίστροφα σημεία των
, τα οποία είναι, προφανώς, ομοκυκλικά. Οι δύο κύκλοι αντιστρέφονται στις ευθείες
.
Ο σύνθετος λόγος μεταφέρεται στον αντίστοιχο λόγο των ακτίνων
, ο οποίος εξαρτάται από τα τόξα
του κύκλου
, όπως προκύπτει αν τον γράψουμε συναρτήσει των αντίστοιχων ημιτόνων των γωνιών των ακτίνων αυτών.
Αυτά ικανοποιούν τις σχέσεις
( λόγω της ορθής γωνίας
) και
( Η μία γωνία των ευθειών που αντιστρέφονται οι δύο κύκλοι είναι ίση με θ) και
, (αντίστοιχη εγγεγραμμένη σε τόξο κύκλου)
Το σύστημα των τεσσάρων εξισώσεων έχει μοναδική λύση, ως προς
( η ορίζουσά του είναι -2), η οποία είναι συνάρτηση μόνο των θ και ω, που τελειώνει την απόδειξη.