Επαφή από παραβολή

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Επαφή από παραβολή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Μάιος 11, 2020 11:03 pm

Καλησπέρα!
Θεωρούμε τρίγωνο \rm ABC και την παραβολή με εστία την κορυφή \rm A και διευθετούσα την ευθεία \rm BC.
Έστω ότι η παραβολή τέμνει τις \rm AB,AC στα \rm E,D .
Οι εφαπτομένες τις παραβολής στα \rm E,D τέμνουν την ευθεία \rm BC στα \rm Q,P αντίστοιχα.
Να δειχθεί ότι ο περίκυκλος του τριγώνου \rm APQ εφάπτεται με τον \rm (A,B,C).
318.PNG
318.PNG (34.37 KiB) Προβλήθηκε 328 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1894
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Επαφή από παραβολή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Μάιος 24, 2020 12:11 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Δευ Μάιος 11, 2020 11:03 pm
Καλησπέρα!
Θεωρούμε τρίγωνο \rm ABC και την παραβολή με εστία την κορυφή \rm A και διευθετούσα την ευθεία \rm BC.
Έστω ότι η παραβολή τέμνει τις \rm AB,AC στα \rm E,D .
Οι εφαπτομένες τις παραβολής στα \rm E,D τέμνουν την ευθεία \rm BC στα \rm Q,P αντίστοιχα.
Να δειχθεί ότι ο περίκυκλος του τριγώνου \rm APQ εφάπτεται με τον \rm (A,B,C).
318.PNG
Ας βάλουμε τα πράγματα στη θέση τους:

Το συμμετρικό της εστίας παραβολής, ως προς εφαπτομένη της συμπίπτει με την προβολή του σημείου επαφής στην διευθετούσα. Εξ αυτού, άμεσα οι γωνίες PAC,BAQ είναι ορθές.

Με βάση αυτό συμπληρώνουμε το σχήμα ως εξής: προτείνουμε τις ΑΒ και AC, ώστε να επανατμησουν τον μπλε κύκλο. Φέρνουμε την εφαπτομένη του μπλε κύκλου στο Α και εύκολα πλέον δείχνουμε ότι σχηματίζει με την ΑΒ γωνία ίση με την ACB, που δείχνει ότι είναι κοινή εφαπτομενη των δύο κύκλων και η απόδειξη έγινε...


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες