Εξίσου ίσα

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9362
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Εξίσου ίσα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μάιος 11, 2020 5:06 pm

Εξίσου ίσα.png
Εξίσου ίσα.png (22 KiB) Προβλήθηκε 166 φορές
Το P είναι εσωτερικό σημείο τριγώνου ABC (AC\ne BC). Οι AP, BP, CP τέμνουν τον περίκυκλο του τριγώνου στα

K, L, M αντίστοιχα, ενώ η εφαπτομένη του κύκλου στο C τέμνει την BA στο S. Αν SP=SC να δείξετε ότι MK=ML.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 310
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Εξίσου ίσα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Δευ Μάιος 11, 2020 5:22 pm

Διακρίνω μια αγάπη για "πρόσφατες" IMO Shortlist :lol: :lol:


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Εξίσου ίσα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Μάιος 11, 2020 6:53 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Μάιος 11, 2020 5:06 pm
Εξίσου ίσα.png
Το P είναι εσωτερικό σημείο τριγώνου ABC (AC\ne BC). Οι AP, BP, CP τέμνουν τον περίκυκλο του τριγώνου στα

K, L, M αντίστοιχα, ενώ η εφαπτομένη του κύκλου στο C τέμνει την BA στο S. Αν SP=SC να δείξετε ότι MK=ML.
\rm SP=SC\Leftrightarrow \angle SPC=\angle SCP\Leftrightarrow \angle LPS+\angle LPC=\angle SCA+\angle ACP .
Είναι \rm SP^2=SC^2=SA\cdot SB\Leftrightarrow \angle SPB=\angle PAS\Leftrightarrow \angle LPS=\angle BAP.
Άρα \rm \angle BAP+\angle CBP+\angle PCB=\angle B+\angle ACP\Leftrightarrow \angle BAP+\angle PCB=\angle PBC+\angle ACP\Leftrightarrow
\rm \Leftrightarrow \angle BAK+\angle MCB=\angle ACM+\angle ABL\Leftrightarrow\overset{\frown }{ML}=\overset{\frown }{MK} και το ζητούμενο έπεται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης