Κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1262
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Μάιος 03, 2020 11:25 pm

Καλό βράδυ σε όλους. Ίσως αποδειχθεί ότι χωράει σε ..ελαφρύτερο φάκελο.
Κατασκευή ισοσκελούς..PNG
Κατασκευή ισοσκελούς..PNG (13.3 KiB) Προβλήθηκε 249 φορές
Το τρίγωνο ABC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με δοσμένη ακτίνα R. Τα M,N είναι τα μέσα των μικρών τόξων AC και BC.

Η κάθετη από το M προς την AN τέμνει τον κύκλο στο E και η CE τέμνει την AN στο I.

Αν είναι AB=BC και ισχύει \left ( BEN \right )=2\left (CIA  \right ) τότε, με γνωστή την ακτίνα R του περίκυκλου

Να κατασκευαστεί το τρίγωνο ABC με τις ως άνω ιδιότητες.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Μάιος 04, 2020 3:08 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Μάιος 03, 2020 11:25 pm
Καλό βράδυ σε όλους. Ίσως αποδειχθεί ότι χωράει σε ..ελαφρύτερο φάκελο.
Κατασκευή ισοσκελούς..PNG
Το τρίγωνο ABC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με δοσμένη ακτίνα R. Τα M,N είναι τα μέσα των μικρών τόξων AC και BC.

Η κάθετη από το M προς την AN τέμνει τον κύκλο στο E και η CE τέμνει την AN στο I.

Αν είναι AB=BC και ισχύει \left ( BEN \right )=2\left (CIA  \right ) τότε, με γνωστή την ακτίνα R του περίκυκλου

Να κατασκευαστεί το τρίγωνο ABC με τις ως άνω ιδιότητες.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Καλό μεσημέρι!
Η ευθεία \rm N είναι διχοτόμος της \rm \angle A.
\rm \angle ACE=\angle AME=90^{\circ}-\angle IAM=90^{\circ}-\dfrac{\angle A}{2}-\dfrac{\angle B}{2}=\dfrac{\angle C}{2} .
Άρα \rm I το έκκεντρο του \rm ABC και έτσι αβίαστα προκύπτουν οι ισότητες \rm AE=EB=NB=NC=NI.Οι \rm EN,AC έχουν κοινή μεσοκάθετο την \rm BM άρα παράλληλες και έτσι \rm \dfrac{(BEN)}{(CIA)}=\dfrac{BN^2}{IC^2}=\dfrac{NC^2}{IC^2} \Leftrightarrow \dfrac{NC}{IC}=\sqrt{2}.
Επειδή \rm \angle CNI=\angle B είναι \rm ABC,CIN όμοια άρα \rm \dfrac{AB}{AC}=\sqrt{2}\Leftrightarrow \dfrac{\sin A}{\sin(180^{\circ}-2\angle A)}=\sqrt{2}\Leftrightarrow \cos \angle A=\dfrac{1}{2\sqrt{2}},\sin \angle A=\sqrt{\dfrac{7}{8}}.Αρκεί σε κύκλο ακτίνας \rm R να κατασκευάσουμε το \rm AC(είναι \rm AC<BC οπότε έχουμε μία λύση).
Αν \rm O το κέντρο του κύκλου τότε \rm \cos \angle COA=\cos 2\angle B=\cos 2(180^{\circ}-2\angle A)=\cos 4\angle A=1-2\sin^22\angleA=1-2(2\sin\angle A\cos \angle A)^2=..=\dfrac{1}{8}.
Η κατασκευή αυτής της γωνίας γίνεται εύκολα,παίρνουμε τμήμα μήκους \rm a στο ένα άκρο του υψώνουμε κάθετη και από το άλλο φέρουμε κύκλο ακτίνας \rm 8a κλπ.

Έγινε διόρθωση τυπογραφικού,ευχαριστώ Ορέστη
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Δευ Μάιος 04, 2020 4:28 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1617
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Μάιος 04, 2020 3:46 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Δευ Μάιος 04, 2020 3:08 pm
Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Μάιος 03, 2020 11:25 pm
Καλό βράδυ σε όλους. Ίσως αποδειχθεί ότι χωράει σε ..ελαφρύτερο φάκελο.
Κατασκευή ισοσκελούς..PNG
Το τρίγωνο ABC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με δοσμένη ακτίνα R. Τα M,N είναι τα μέσα των μικρών τόξων AC και BC.

Η κάθετη από το M προς την AN τέμνει τον κύκλο στο E και η CE τέμνει την AN στο I.

Αν είναι AB=BC και ισχύει \left ( BEN \right )=2\left (CIA  \right ) τότε, με γνωστή την ακτίνα R του περίκυκλου

Να κατασκευαστεί το τρίγωνο ABC με τις ως άνω ιδιότητες.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
\rm \dfrac{AB}{AC}=\sqrt{2} (υποθέτω τυπογραφικό σφάλμα το αρχικά γραμμένο BC στον παρονομαστή).
Μια γεωμετρική κατασκευή ενός τέτοιου τριγώνου είναι η εξής:

Στον κύκλο ακτίνας R και κέντρου O παίρνω μια τυχαία διάμετρο του BS. Παίρνω το μέσο της OS, έστω P. Παίρνω και το μέσο της PS, το Q. Φέρνω την κάθετη από το Q στην διάμετρο και έστω ότι τέμνει τον κύκλο στα A,C.

Τότε το BAC είναι ισοσκελές και έχει BA=BC και BA=BC=AC\sqrt{2} (η απόδειξη για αυτό είναι απλή - είναι OQ=OS-SQ=OS-SO/4=3R/4, οπότε από Π.Θ. στο \vartriangle AQO βρίσκω το AQ συναρτήσει της ακτίνας και μετά με Π.Θ. στο \vartriangle BAQ βρίσκω το AB. Προκύπτει ότι AC=R\sqrt{7}/2 και AB=BC=R\sqrt{7}/\sqrt{2}, οπότε AB=BC=AC\sqrt{2}).


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1262
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Μάιος 08, 2020 10:43 pm

Καλό βράδυ. Από ένα μεγάλο ευχαριστώ στους Πρόδρομο και Ορέστη για τις θαυμάσιες επεμβάσεις τους!
Σημασία δεν έχει σε ποιο φάκελο χωράει το θέμα , αλλά το ότι και οι δύο δείχνουν ικανότατοι .. :clap2: ..
να προχωράνε και πολύ πιο πέρα από τον << Αρχιμήδη>> .Ας προβάλω μια ακόμη κατασκευή
Κατασκευή ισοσκελούς.PNG
Κατασκευή ισοσκελούς.PNG (12.55 KiB) Προβλήθηκε 122 φορές
Έχουμε \widehat{B}=\pi -2A \Rightarrow cosB=-cos2A. Από τη λύση του Πρόδρομου παίρνουμε sin^{2}A=\dfrac{7}{8} οπότε cosB=2sin^{2}A-1=\dfrac{3}{4}.
Σχεδιάζουμε λοιπόν γωνία \widehat{B} με cosB=\dfrac{3}{4}.Ο κύκλος (B,R) τέμνει την διχοτόμο της στο O

και Ο κύκλος (O,R) τέμνει τις πλευρές της στα A,C .Το τρίγωνο ABC είναι το ζητούμενο.. Φιλικά Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης