Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος
που διέρχονται από τα σημεία και αντίστοιχα. Οι κύκλοι αυτοί τέμνονται και σε ένα δεύτερο σημείο
εκτός του Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του
Λέξεις Κλειδιά:
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος
Καλησπέρα!george visvikis έγραψε: ↑Πέμ Απρ 16, 2020 7:43 pmΤρίκυκλος γεωμετρικός τόπος.png
Από σημείο εκτός κύκλου φέρνω τυχούσες τέμνουσες και γράφω τους κύκλους
που διέρχονται από τα σημεία και αντίστοιχα. Οι κύκλοι αυτοί τέμνονται και σε ένα δεύτερο σημείο
εκτός του Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του
Η αντιστροφή πόλου και δύναμης απεικονίζει τον πράσινο κύκλο (στο σχήμα της άσκησης) στην ευθεία και τον μπλε στην .Άρα αν το είναι η εικόνα του ως προς την αντιστροφή.Όμως το ανήκει στην πολική του ως προς τον κόκκινο κύκλο .Δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος του είναι η εικόνα της πολικής του ως προς τον κόκκινο κύκλο ως προς την αντιστροφή.Τα σημεία τομής της πολικής με τον κόκκινο κύκλο μένουν αναλλοίωτα.Άρα ο ζητούμενος τόπος είναι ο κύκλος διαμέτρου
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος
Άψογος όπως πάνταΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Πέμ Απρ 16, 2020 8:43 pmΚαλησπέρα!george visvikis έγραψε: ↑Πέμ Απρ 16, 2020 7:43 pmΤρίκυκλος γεωμετρικός τόπος.png
Από σημείο εκτός κύκλου φέρνω τυχούσες τέμνουσες και γράφω τους κύκλους
που διέρχονται από τα σημεία και αντίστοιχα. Οι κύκλοι αυτοί τέμνονται και σε ένα δεύτερο σημείο
εκτός του Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του
Η αντιστροφή πόλου και δύναμης απεικονίζει τον πράσινο κύκλο (στο σχήμα της άσκησης) στην ευθεία και τον μπλε στην .Άρα αν το είναι η εικόνα του ως προς την αντιστροφή.Όμως το ανήκει στην πολική του ως προς τον κόκκινο κύκλο .Δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος του είναι η εικόνα της πολικής του ως προς τον κόκκινο κύκλο ως προς την αντιστροφή.Τα σημεία τομής της πολικής με τον κόκκινο κύκλο μένουν αναλλοίωτα.Άρα ο ζητούμενος τόπος είναι ο κύκλος διαμέτρου
304.PNG
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος
Το πρόβλημα αυτό είναι επί της ουσίας ίδιο με το 5ο πρόβλημα της διεθνούς μαθηματικής ολυμπιάδας του 1985. Είναι από τα αγαπημένα μου. Το είχα συναντήσει σε κάποια παλιά τεύχη του Ευκλείδη Β' που ήταν στην βιβλιοθήκη του γυμνασίου μου. Προσπάθησα το καλοκαίρι της Γ' Γυμνασίου να το λύσω και δεν τα είχα καταφέρει. Επιδέχεται και άλλες όμορφες και στοιχειώδεις λύσεις πέραν της εξαιρετικής του Πρόδρομου.george visvikis έγραψε: ↑Πέμ Απρ 16, 2020 7:43 pmΤρίκυκλος γεωμετρικός τόπος.png
Από σημείο εκτός κύκλου φέρνω τυχούσες τέμνουσες και γράφω τους κύκλους
που διέρχονται από τα σημεία και αντίστοιχα. Οι κύκλοι αυτοί τέμνονται και σε ένα δεύτερο σημείο
εκτός του Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του
Re: Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος
Το είναι το σημείο του εγγράψιμου (τεμνόμενου) τετραπλεύρου .
Αν το θα ανήκει στη διαγώνιο και επιπλέον θα είναι κάθετες κλπ.(γνωστό λήμμα για σημεία εγγράψιμων τετραπλεύρων).
Αν το θα ανήκει στη διαγώνιο και επιπλέον θα είναι κάθετες κλπ.(γνωστό λήμμα για σημεία εγγράψιμων τετραπλεύρων).
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος
Πράγματι, τα δύο προβλήματα μοιάζουν πολύ και υπάρχουν και άλλες ωραίες λύσεις. Παρόλα αυτά, η παρούσα άσκησηAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Απρ 17, 2020 2:07 pmΤο πρόβλημα αυτό είναι επί της ουσίας ίδιο με το 5ο πρόβλημα της διεθνούς μαθηματικής ολυμπιάδας του 1985. Είναι από τα αγαπημένα μου. Το είχα συναντήσει σε κάποια παλιά τεύχη του Ευκλείδη Β' που ήταν στην βιβλιοθήκη του γυμνασίου μου. Προσπάθησα το καλοκαίρι της Γ' Γυμνασίου να το λύσω και δεν τα είχα καταφέρει. Επιδέχεται και άλλες όμορφες και στοιχειώδεις λύσεις πέραν της εξαιρετικής του Πρόδρομου.george visvikis έγραψε: ↑Πέμ Απρ 16, 2020 7:43 pmΤρίκυκλος γεωμετρικός τόπος.png
Από σημείο εκτός κύκλου φέρνω τυχούσες τέμνουσες και γράφω τους κύκλους
που διέρχονται από τα σημεία και αντίστοιχα. Οι κύκλοι αυτοί τέμνονται και σε ένα δεύτερο σημείο
εκτός του Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του
είναι αρχαιότερη από την IMO 1985. Είναι από το βιβλίο του Αριστείδη Φ. Πάλλα, Μεγάλη Γεωμετρία Τόμος Α (έκδοση
1971). Πρόκειται για την άσκηση 815 από τις Γενικές του Β' τεύχους.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος
...Και είναι πολύ συμαντικό αυτό δείχνει ότι το επίπεδο της σχολικής ευκλείδιας γεωματρίας είναι πολύ υψηλό στην Ελλάδα από τα καλύτερα στον κόσμο. Να πω τον πόνο μου, όταν πήγα να αγοράσω τα βιβλία του Πάλλα σε βιβλιοπωλείο μου ζήτησαν ευρώ το ένα αν θυμάμαι καλά και εν τέλει δεν το αγόρασα.george visvikis έγραψε: ↑Παρ Απρ 17, 2020 7:17 pmΠράγματι, τα δύο προβλήματα μοιάζουν πολύ και υπάρχουν και άλλες ωραίες λύσεις. Παρόλα αυτά, η παρούσα άσκηση
είναι αρχαιότερη από την IMO 1985. Είναι από το βιβλίο του Αριστείδη Φ. Πάλλα, Μεγάλη Γεωμετρία Τόμος Α (έκδοση
1971). Πρόκειται για την άσκηση 815 από τις Γενικές του Β' τεύχους.
Όσο αναφορά το πρόβλημα:
Έχουμε και , οπότε τα τρίγωνα και είναι όμοια. Άρα όμοια θα είναι και τα τρίγωνα που σχηματιζουν ομόλογες διάμεσοί τους και . Δηλαδή ισχύει . Επομένως τα σημεία είναι ομοκυκλικά. Όμως ομοκυκλικά είναι και τα σημεία μάλιστα με διάμετρο το τμήμα . Άρα όλα τα παραπάνω σημέια ανήκουν στον ίδιο κύκλο διαμέτρο . Οπότε , που δίνει και το ζητούμενο γεωμετρικό τόπο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες