Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9362
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Απρ 16, 2020 7:43 pm

Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος.png
Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος.png (17.9 KiB) Προβλήθηκε 475 φορές
Από σημείο S εκτός κύκλου (O, R) φέρνω τυχούσες τέμνουσες SAB, SCD και γράφω τους κύκλους (\omega_1), (\omega_2),

που διέρχονται από τα σημεία A, S, D και B, S, C αντίστοιχα. Οι κύκλοι αυτοί τέμνονται και σε ένα δεύτερο σημείο

M εκτός του S. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του M.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Απρ 16, 2020 8:43 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Απρ 16, 2020 7:43 pm
Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος.png
Από σημείο S εκτός κύκλου (O, R) φέρνω τυχούσες τέμνουσες SAB, SCD και γράφω τους κύκλους (\omega_1), (\omega_2),

που διέρχονται από τα σημεία A, S, D και B, S, C αντίστοιχα. Οι κύκλοι αυτοί τέμνονται και σε ένα δεύτερο σημείο

M εκτός του S. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του M.
Καλησπέρα!

Η αντιστροφή πόλου \rm S και δύναμης \rm SA\cdot SB=SC\cdot SD απεικονίζει τον πράσινο κύκλο (στο σχήμα της άσκησης) στην ευθεία \rm AD και τον μπλε στην \rm BC.Άρα αν \rm P\equiv BC\cap AD το \rm P είναι η εικόνα του \rm M ως προς την αντιστροφή.Όμως το \rm P ανήκει στην πολική του \rm S ως προς τον κόκκινο κύκλο .Δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος του \rm M είναι η εικόνα της πολικής του \rm S ως προς τον κόκκινο κύκλο ως προς την αντιστροφή.Τα σημεία τομής της πολικής με τον κόκκινο κύκλο μένουν αναλλοίωτα.Άρα ο ζητούμενος τόπος είναι ο κύκλος διαμέτρου \rm OS
304.PNG
304.PNG (35.98 KiB) Προβλήθηκε 452 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9362
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Απρ 17, 2020 10:03 am

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Πέμ Απρ 16, 2020 8:43 pm
george visvikis έγραψε:
Πέμ Απρ 16, 2020 7:43 pm
Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος.png
Από σημείο S εκτός κύκλου (O, R) φέρνω τυχούσες τέμνουσες SAB, SCD και γράφω τους κύκλους (\omega_1), (\omega_2),

που διέρχονται από τα σημεία A, S, D και B, S, C αντίστοιχα. Οι κύκλοι αυτοί τέμνονται και σε ένα δεύτερο σημείο

M εκτός του S. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του M.
Καλησπέρα!

Η αντιστροφή πόλου \rm S και δύναμης \rm SA\cdot SB=SC\cdot SD απεικονίζει τον πράσινο κύκλο (στο σχήμα της άσκησης) στην ευθεία \rm AD και τον μπλε στην \rm BC.Άρα αν \rm P\equiv BC\cap AD το \rm P είναι η εικόνα του \rm M ως προς την αντιστροφή.Όμως το \rm P ανήκει στην πολική του \rm S ως προς τον κόκκινο κύκλο .Δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος του \rm M είναι η εικόνα της πολικής του \rm S ως προς τον κόκκινο κύκλο ως προς την αντιστροφή.Τα σημεία τομής της πολικής με τον κόκκινο κύκλο μένουν αναλλοίωτα.Άρα ο ζητούμενος τόπος είναι ο κύκλος διαμέτρου \rm OS

304.PNG
Άψογος όπως πάντα :clap2: :clap2:


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1139
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Απρ 17, 2020 2:07 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Απρ 16, 2020 7:43 pm
Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος.png
Από σημείο S εκτός κύκλου (O, R) φέρνω τυχούσες τέμνουσες SAB, SCD και γράφω τους κύκλους (\omega_1), (\omega_2),

που διέρχονται από τα σημεία A, S, D και B, S, C αντίστοιχα. Οι κύκλοι αυτοί τέμνονται και σε ένα δεύτερο σημείο

M εκτός του S. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του M.
Το πρόβλημα αυτό είναι επί της ουσίας ίδιο με το 5ο πρόβλημα της διεθνούς μαθηματικής ολυμπιάδας του 1985. Είναι από τα αγαπημένα μου. Το είχα συναντήσει σε κάποια παλιά τεύχη του Ευκλείδη Β' που ήταν στην βιβλιοθήκη του γυμνασίου μου. Προσπάθησα το καλοκαίρι της Γ' Γυμνασίου να το λύσω και δεν τα είχα καταφέρει. Επιδέχεται και άλλες όμορφες και στοιχειώδεις λύσεις πέραν της εξαιρετικής του Πρόδρομου.


Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 310
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Παρ Απρ 17, 2020 4:42 pm

Το M είναι το σημείο Miquel του εγγράψιμου (τεμνόμενου) τετραπλεύρου BCAD.
Αν X\equiv AD\cap BC το M θα ανήκει στη διαγώνιο SX και επιπλέον θα είναι OM,SX κάθετες κλπ.(γνωστό λήμμα για σημεία Miquel εγγράψιμων τετραπλεύρων).


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9362
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Απρ 17, 2020 7:17 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Παρ Απρ 17, 2020 2:07 pm
george visvikis έγραψε:
Πέμ Απρ 16, 2020 7:43 pm
Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος.png
Από σημείο S εκτός κύκλου (O, R) φέρνω τυχούσες τέμνουσες SAB, SCD και γράφω τους κύκλους (\omega_1), (\omega_2),

που διέρχονται από τα σημεία A, S, D και B, S, C αντίστοιχα. Οι κύκλοι αυτοί τέμνονται και σε ένα δεύτερο σημείο

M εκτός του S. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του M.
Το πρόβλημα αυτό είναι επί της ουσίας ίδιο με το 5ο πρόβλημα της διεθνούς μαθηματικής ολυμπιάδας του 1985. Είναι από τα αγαπημένα μου. Το είχα συναντήσει σε κάποια παλιά τεύχη του Ευκλείδη Β' που ήταν στην βιβλιοθήκη του γυμνασίου μου. Προσπάθησα το καλοκαίρι της Γ' Γυμνασίου να το λύσω και δεν τα είχα καταφέρει. Επιδέχεται και άλλες όμορφες και στοιχειώδεις λύσεις πέραν της εξαιρετικής του Πρόδρομου.
Πράγματι, τα δύο προβλήματα μοιάζουν πολύ και υπάρχουν και άλλες ωραίες λύσεις. Παρόλα αυτά, η παρούσα άσκηση
είναι αρχαιότερη από την IMO 1985. Είναι από το βιβλίο του Αριστείδη Φ. Πάλλα, Μεγάλη Γεωμετρία Τόμος Α (έκδοση
1971). Πρόκειται για την άσκηση 815 από τις Γενικές του Β' τεύχους.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1139
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Απρ 17, 2020 9:20 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Απρ 17, 2020 7:17 pm
Πράγματι, τα δύο προβλήματα μοιάζουν πολύ και υπάρχουν και άλλες ωραίες λύσεις. Παρόλα αυτά, η παρούσα άσκηση
είναι αρχαιότερη από την IMO 1985. Είναι από το βιβλίο του Αριστείδη Φ. Πάλλα, Μεγάλη Γεωμετρία Τόμος Α (έκδοση
1971). Πρόκειται για την άσκηση 815 από τις Γενικές του Β' τεύχους.
...Και είναι πολύ συμαντικό αυτό δείχνει ότι το επίπεδο της σχολικής ευκλείδιας γεωματρίας είναι πολύ υψηλό στην Ελλάδα από τα καλύτερα στον κόσμο. Να πω τον πόνο μου, όταν πήγα να αγοράσω τα βιβλία του Πάλλα σε βιβλιοπωλείο μου ζήτησαν 60 ευρώ το ένα αν θυμάμαι καλά και εν τέλει δεν το αγόρασα.


Όσο αναφορά το πρόβλημα:
trikuklos_gewmetrikos_topos.png
trikuklos_gewmetrikos_topos.png (36.66 KiB) Προβλήθηκε 300 φορές

Έχουμε \angle MDC = \angle MAB και \angle MCD = \angle MBA, οπότε τα τρίγωνα MDC και MAB είναι όμοια. Άρα όμοια θα είναι και τα τρίγωνα που σχηματιζουν ομόλογες διάμεσοί τους MQ και MP. Δηλαδή ισχύει \angle MQD = \angle MPA. Επομένως τα σημεία M,P,S,Q είναι ομοκυκλικά. Όμως ομοκυκλικά είναι και τα σημεία O,P,S,Q μάλιστα με διάμετρο το τμήμα OS. Άρα όλα τα παραπάνω σημέια ανήκουν στον ίδιο κύκλο διαμέτρο OS. Οπότε \angle OMS =90^0, που δίνει και το ζητούμενο γεωμετρικό τόπο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης