Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 16.

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2068
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 16.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Παρ Μαρ 27, 2020 1:59 pm

Δίνεται κύκλος (O) χορδής BC και έστω AD η διάμετρός του, μεσοκάθετη του BC και ας είναι AM>MD, όπου M\equiv BC\cap AD. Έστω E, τυχόν σημείο του ελάσσονος τόξου \overset\frown {AB} και P\in AD, τυχόν σημείο μεταξύ των M,\ D. Έστω Q, η προβολή του P επί της ED και Z, το σημείο τομής του περικύκλου έστω (K) του \vartriangle PBC, από την ευθεία PQ. Αποδείξτε ότι η ευθεία QN, όπου N είναι το μέσον του EZ, περνάει από το σημείο M.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Η πρόταση αυτή είναι δάνειο ( σε διασκευή ) από το διαδίκτυο και δεν έχω υπόψη μου κάποια λύση.
f 181_t 66674.PNG
Μεταβλητή ευθεία δια μεταβλητού μέσου.
f 181_t 66674.PNG (25.76 KiB) Προβλήθηκε 419 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 804
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 16.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Παρ Μαρ 27, 2020 4:12 pm

Μια στα γρήγορα:

Μεταφράζω το πρόβλημα στο εξής ισοδύναμο (νομίζω ότι "οπτικά" βολεύει):

Έστω δύο τεμνόμενοι κύκλοι C_1 και C_2 (ας θεωρήσουμε ότι το κέντρο του ενός δεν βρίσκεται μέσα στον άλλο κύκλο). Το ευθύγραμμο τμήμα της διακέντρου τους τέμνει αντίστοιχα στα C και B, ενώ τέμνει και την κοινή χορδή τους στο D. Έστω A ένα σημείο ώστε \widehat{BAC}=90^o. Η AB τέμνει τον C_2 ξανά στο E και η AC τέμνει τον C_1 ξανά στο F. Να αποδειχθεί ότι η AD διέρχεται από το μέσο του EF.

__________________________________________________________________________________________________________________________

Πρακτικά θέλουμε να δείξουμε ότι οι γωνίες που σχηματίζει η AD με την \widehat{EAF} είναι αυτές του ορθογωνίου τριγώνου EAF. Οπότε αρκεί να δείξουμε ότι:

\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{\sin{\widehat{DAC}}}{\sin{\widehat{DAB}}}.

Από νόμους ημιτόνων στα ADB και ADC παίρνουμε ότι \dfrac{DC}{DB}\cdot \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{\sin{\widehat{DAC}}}{\sin{\widehat{DAB}}}.

Οπότε θα δείξουμε ότι \dfrac{AE}{AF}=\dfrac{DC}{DB}\cdot \dfrac{AB}{AC}.

Θεωρούμε τώρα X, Y τα δεύτερα σημεία τομής της διακέντρου με τους C_2 και C_1 αντίστοιχα.

Λόγω του ότι οι BX και CY είναι διάμετροι, έχουμε ότι \widehat{BEX}=\widehat{CFY}=90^o, άρα AC//EX και AB//FY.

Εύκολα τώρα από Θαλή έχουμε ότι: \dfrac{AB}{AE}=\dfrac{BC}{CX} και \dfrac{AC}{AF}=\dfrac{BC}{BY}, οπότε \dfrac{AB}{AC}\cdot \dfrac{AF}{AE}=\dfrac{BY}{CX}

Αρκεί λοιπόν τελικά να δείξουμε ότι \dfrac{BY}{CX}=\dfrac{DB}{DC} ή ισοδύναμα \dfrac{DB}{DC}=\dfrac{DY}{DX}\Leftrightarrow DB\cdot DX=DC\cdot DY, που ισχύει αφού το D βρίσκεται στο ριζικό άξονα των κύκλων.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 16.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Μαρ 27, 2020 4:19 pm

vittasko έγραψε:
Παρ Μαρ 27, 2020 1:59 pm
Δίνεται κύκλος (O) χορδής BC και έστω AD η διάμετρός του, μεσοκάθετη του BC και ας είναι AM>MD, όπου M\equiv BC\cap AD. Έστω E, τυχόν σημείο του ελάσσονος τόξου \overset\frown {AB} και P\in AD, τυχόν σημείο μεταξύ των M,\ D. Έστω Q, η προβολή του P επί της ED και Z, το σημείο τομής του περικύκλου έστω (K) του \vartriangle PBC, από την ευθεία PQ. Αποδείξτε ότι η ευθεία QN, όπου N είναι το μέσον του EZ, περνάει από το σημείο M.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Δεν έχω υπόψη μου κάποια λύση γι' αυτό το πρόβλημα.
f 181_t 66674.PNG
Καλησπέρα

293.PNG
293.PNG (49.56 KiB) Προβλήθηκε 374 φορές
Έστω \rm R \equiv BC \cap ED,Y \equiv (O) \cap EZ,L \equiv QZ \cap BC .
Είναι \rm \angle ZYD=\angle EAD=90^{\circ}-\angle ADE=\angle QPD άρα PZYD εγγράψιμο.Άρα το \rm L θα είναι ριζικό κέντρο των κύκλων \rm (K),(O),(P,Z,Y,D) δηλαδή \rm D,Y,L συνευθειακά.
Επίσης είναι \rm \angle LYE=180^{\circ}-\angle EYD=180^{\circ}-(90^{\circ}-\angle ADE)=90^{\circ}+(90^{\circ}-\angle DRM)=180^{\circ}-\angle DRM=
\rm =\angle ERL δηλαδή \rm ERYL εγγράψιμο .Αφού \rm \angle RLQ=90^{\circ}-\angle QRL=\angle MDL
θα είναι \rm\angle REY=\angle RLD=\angle MQR και το ζητούμενο έπεται εύκολα.


Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 310
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 16.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Παρ Μαρ 27, 2020 5:30 pm

Γεια σας κύριε Βήττα.
Μας λείψατε :geek: :lol:
Ελπίζω να'στε μια χαρά.
Μια λύση ακόμη:
Έστω A'\equiv AD\cap (K).
Κινούμε το E στον κύκλο του με σταθερή γωνιακή ταχύτητα a.

Παρατηρούμε ότι και το Q κινείται στον κύκλο του με την ίδια ταχύτητα (χορδής και εφαπτομένης στο D),όπως και το Z με το Q (χορδής και εφαπτομένης στο P.
Συνεπώς,τα E,P έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα.
Μπορούμε να δείξουμε ότι και το μέσο N της EP θα έχει γ.τ.(γωνιακή ταχύτητα ) a ως γραμμικός συνδυασμός των E,P.Αυτό μπορούμε να το δούμε είτε με στροφές στο μιγαδικό επίπεδο,είτε με σπειροειδή ομοιότητα είτε....
Έτσι το N κινείται σε κύκλο C_{1}.

Έστω ότι ο C_{1} τέμνει την διάκεντρο στα X,Y (το Y από κάτω μεριά).Λόγω συμμετρίας,η XY είναι διάμετρος.Όταν το E περνάει από το A,τα N,Q περνούν από τα Y,P και όταν το E περνάει από το D,τα N,Q περνούν από τα X,D.
Λόγω ίσων γωνιακών ταχυτήτων,σε κάθε θέση θα ισχύει NX//QD,NY//QP,δηλαδή ότι τα NXY,QDP είναι ομοιόθετα.

Άρα η τομή των AD,QN είναι σταθερό σημείο (το κέντρο ομοιθεσίας).Αρκεί να δείξουμε ότι ταυτίζεται με το M.
Αυτό δεν είναι δύσκολο:

Εξ'ορισμού,Y μέσο του PA και X μέσο του DA'.
Είναι απλό από αντιστροφή πως οι κοινές εσωτερικές εφαπτόμενες των (AA'),(PD) περνούν από το M.Έτσι υπάρχει ομοιοθεσία που στέλνει το A στο A' και το P στο D.
Η ίδια ομοιοθεσία θα στέλνει το μέσο του AP στο μέσο του A'D,δηλαδή το Y στο X,δηλαδή ο (XY) θα εφάπτεται στις κοινές εφαπτόμενες.Από το τελευταίο έπεται πως το M είναι το εσωτερικό κέντρο ομοιοθεσίας των (XY),(PD) κλπ.


Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2068
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 16.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Παρ Μαρ 27, 2020 6:49 pm

Σας ευχαριστώ πολύ για τις άμεσες απαντήσεις σας. Μου δώσατε μεγάλη χαρά και σας είμαι ευγνώμων γιατί περνάω το στάδιο της καραντίνας λόγω κορωνοϊού, με το πρόσθετο φορτίο της ανάρρωσης από ορθοπεδικό ατύχημα πριν τέσσερις εβδομάδες.

Δύσκολη περίοδος για μαστορέματα ( εξορκισμός στην καραντίνα ), όταν έχεις μπανταρισμένο το δεξί σου χέρι ( και δεν είσαι αριστερόχειρας ).

Ευτυχώς γλίτωσα από τα χειρότερα ( αποφυγή χειρουργείου ) αλλά χρειάζεται χρόνος. Κάθε μέρα όμως που περνάει, όλο πάει και καλύτερα η επιστροφή στην κανονικότητα.

Ετοιμάζω μία μικρή εργασία με δέκα προτάσεις σχετικές με μεταβλητές ευθείες δια σταθερών σημείων και ήταν η μόνη ορφανή ( χωρίς δική μου απόδειξη ). Σε ένδειξη τιμής όμως, θα συμπεριλάβω μόνο τις δικές σας αποδείξεις για την πρόταση αυτή, έστω και αν τύχει να σκαρφιστώ μία διαφορετική ο ίδιος.

Να είστε καλά, Κώστας Βήττας.


Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2068
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 16.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Σάβ Μαρ 28, 2020 9:02 pm

Ας δούμε μία εναλλακτική γραφή της απόδειξης του Πρόδρομου πιο πάνω. Χρησιμοποιώ το σχήμα του.

Από \angle DPQ = \angle DAE = \angle DYE έχουμε ότι το τετράπλευρο DPZY είναι εγγράψιμο σε κύκλο έστω (K').

Προκύπτει έτσι, BC\cap PZ\cap DY\equiv L ως το ριζικό κέντρο των κύκλων (K),\ (O),\ (K').

Από τα εγγράψιμα τετράπλευρα DPZY,\ DQML τώρα, έχουμε \angle MQL = \angle MDL = \angle QZN\ \ \ ,(1)

Από (1) στο ορθογώνιο τρίγωνο \vartriangle QEZ, συμπεραίνεται ότι η ευθεία QM περνάει από το μέσον N του EZ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Πρόδρομε, αυτή η απόδειξη μου ξέφυγε και σου ανήκει στο ακέραιο. Αξίζει να πούμε ότι βασισμένοι στην άσκηση που συζητάμε εδώ ως Λήμμα, αποδεικνύεται ως άμεση εφαρμογή η άσκηση 4688 στην ομάδα "Ρομαντικοί της Γεωμετρίας" του facebook (*), οφειλόμενη στον Γ. ΤΣΙΝΤΣΙΦΑ (**), εξαίρετο και διεθνώς γνωστό συμπατριώτη, "Δάσκαλο" για πολλούς της δικής μου γενιάς, που ζει και δημιουργεί στην Θεσσαλονίκη.

(*) https://www.facebook.com/groups/parmeni ... 481599373/

(**) Ο αναγνώστης μπορεί να δει στην ιστοσελίδα του, την τριγωνομετρική απόδειξη που δίνει ο ίδιος.

https://gtsintsifas.com/2020/03/euclide ... -geometry/


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες