mathematica.gr

Έστω το ύψος και το περίκεντρο τριγώνου με Η τέμνει την

στο Από το σημείο εσωτερικό του τμήματος φέρνω παράλληλη στην που τέμνει την στο

Αν να βρείτε το μήκος του τμήματος

Κι εδώ συμμετροδιάμεσος : Αν θα ισχύει :

Έστω σκαληνό τρίγωνο , ο περιγεγραμμένος του κύκλος και η συμμετροδιάμεσός του, που τον τέμνει στο .

Φέρνω την εφαπτομένη του κύκλου στο ( εξωτερική συμμετροδιάμεσος ) που τέμνει την στο .

Η διέρχεται από το σημείο τομής των εφαπτομένων του κύκλου στα .

Η πολική του θα διέρχεται από το . Η πολική του είναι προφανώς η που διέρχεται από το και το , δηλαδή η πολική του είναι η .

Άμεσες συνέπειες : Αφ ενός είναι εφαπτομένη του κύκλου και επί πλέον η

έστω στο σημείο .

Μετά απ’ αυτά :


Από το εγγράψιμο τετράπλευρο έχω : .

Από το τρίγωνο με την γωνία εξωτερική έχω

Αφού όμως η διχοτόμος της γωνίας του στο διχοτομεί τη γωνία ύψους και διαμέτρου από το , ενώ ( χορδής κι εφαπτομένης )

Θα είναι και λόγω του εγγραψίμου τετραπλεύρου θα είναι :

Έτσι αν θα ισχύει :

Ευχαριστώ τον φίλτατο Νίκο για την πολύ ωραία λύση του. Η απόδειξή μου για τη συμμετροδιάμεσο έχει
πολλά κοινά σημεία, αλλά είναι λίγο διαφορετική. Έχω βάλει στο σχήμα τα ίδια γράμματα με τον Νίκο.

Η τέμνει την στο Είναι, άρα η εφάπτεται στον περίκυκλο

του τριγώνου κι επειδή και η θα εφάπτεται στον κύκλο, οπότε η είναι η συμμετροδιάμεσος

του τριγώνου Ο περιγεγραμμένος κύκλος του διέρχεται προφανώς από το μέσο του Επειδή όμως, τα τρίγωνα είναι

ισογώνια, απ' όπου προκύπτει ότι δηλαδή η είναι η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου