Υπερατλαντικό τμήμα

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9363
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Υπερατλαντικό τμήμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Φεβ 27, 2020 6:42 pm

Υπερατλαντικό τμήμα.png
Υπερατλαντικό τμήμα.png (10.9 KiB) Προβλήθηκε 215 φορές
Έστω AD το ύψος και O το περίκεντρο τριγώνου ABC με AB=12, BC=15, AC=16. Η AO τέμνει την

BC στο E. Από το σημείο S εσωτερικό του τμήματος DE φέρνω παράλληλη στην AO που τέμνει την AD στο P.

Αν PO\bot AS, να βρείτε το μήκος του τμήματος BS.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7207
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Υπερατλαντικό τμήμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Φεβ 27, 2020 8:46 pm

Κι εδώ συμμετροδιάμεσος : Αν BS = x θα ισχύει : \boxed{\frac{x}{{15 - x}} = \frac{9}{{16}} \Rightarrow x = \frac{{27}}{5}}
Λήμμα συμμετροδιαμέσου.png
Λήμμα συμμετροδιαμέσου.png (18.03 KiB) Προβλήθηκε 108 φορές

Έστω σκαληνό τρίγωνο ABC, ο περιγεγραμμένος του κύκλος \left( {O,R} \right) και η A - συμμετροδιάμεσός του, AS που τον τέμνει στο Q.

Φέρνω την εφαπτομένη του κύκλου στο A ( εξωτερική συμμετροδιάμεσος ) που τέμνει την AB στο T.

Η AS διέρχεται από το σημείο τομής J των εφαπτομένων του κύκλου στα B,C.

Η πολική του T θα διέρχεται από το A . Η πολική του J είναι προφανώς η BC που διέρχεται από το T και το S , δηλαδή η πολική του T είναι η \overline {AQJ} .

Άμεσες συνέπειες : Αφ ενός AQ είναι εφαπτομένη του κύκλου και επί πλέον η

OT \bot AS έστω στο σημείο H.

Μετά απ’ αυτά :
Υπερατλαντικό τμήμα_ok.png
Υπερατλαντικό τμήμα_ok.png (42.18 KiB) Προβλήθηκε 108 φορές


Από το εγγράψιμο τετράπλευρο AHDT έχω : \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{k_{}}} + \widehat {{\xi _{}}}\,\,(1) .

Από το τρίγωνο AEC με την γωνία \widehat {{\theta _1}} εξωτερική έχω \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{k_{}}} + \widehat {{C_1}}\,\,\,(2)

Αφού όμως η διχοτόμος της γωνίας του \vartriangle ABC στο A διχοτομεί τη γωνία ύψους και διαμέτρου από το A , ενώ \widehat {{\xi _{}}} = \widehat {{C_{}}}( χορδής κι εφαπτομένης )

Θα είναι \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} και λόγω του εγγραψίμου τετραπλεύρου PDSH θα είναι : \widehat {{\theta _3}} = \widehat {{\theta _1}} \Rightarrow PS//OE

Έτσι αν BS = x θα ισχύει : \boxed{\frac{x}{{a - x}} = \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}} \Rightarrow x = \frac{{a{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9363
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Υπερατλαντικό τμήμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μαρ 01, 2020 12:11 pm

Ευχαριστώ τον φίλτατο Νίκο για την πολύ ωραία λύση του. Η απόδειξή μου για τη συμμετροδιάμεσο έχει
πολλά κοινά σημεία, αλλά είναι λίγο διαφορετική. Έχω βάλει στο σχήμα τα ίδια γράμματα με τον Νίκο.

Η OP τέμνει την BC στο T. Είναι, \displaystyle A\widehat OP = S\widehat PO = S\widehat DH = S\widehat AT, άρα η TA εφάπτεται στον περίκυκλο

του τριγώνου κι επειδή TO\bot AQ και η TQ θα εφάπτεται στον κύκλο, οπότε η CS είναι η C-συμμετροδιάμεσος

του τριγώνου ACQ. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του TAOQ διέρχεται προφανώς από το μέσο M του BC.
Υπερατλαντικό τμήμα.ΙΙ.png
Υπερατλαντικό τμήμα.ΙΙ.png (28.21 KiB) Προβλήθηκε 101 φορές
\displaystyle A\widehat MB = A\widehat MT = A\widehat DT = A\widehat CQ. Επειδή όμως, \displaystyle A\widehat BM = A\widehat QC, τα τρίγωνα ABM, AQC είναι

ισογώνια, απ' όπου προκύπτει ότι \displaystyle B\widehat AS = M\widehat AC, δηλαδή η AS είναι η A-συμμετροδιάμεσος του τριγώνου ABC.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης