Ζητείται χορδή

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9363
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ζητείται χορδή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Φεβ 23, 2020 1:07 pm

Ζητείται χορδή.png
Ζητείται χορδή.png (17.93 KiB) Προβλήθηκε 314 φορές
Στο τρίγωνο ABC του σχήματος είναι AB=4, AC=7, BC=9, ενώ η διχοτόμος AD τέμνει τον

περίκυκλο στο E και ο περίκυκλος τον κύκλο διαμέτρου DE στο P. Να υπολογίσετε το μήκος της χορδής CP.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ζητείται χορδή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Φεβ 23, 2020 5:51 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Φεβ 23, 2020 1:07 pm
Ζητείται χορδή.png
Στο τρίγωνο ABC του σχήματος είναι AB=4, AC=7, BC=9, ενώ η διχοτόμος AD τέμνει τον

περίκυκλο στο E και ο περίκυκλος τον κύκλο διαμέτρου DE στο P. Να υπολογίσετε το μήκος της χορδής CP.
Καλησπέρα!

Από γνωστή πρόταση (π.χ δείτε στο 2.6 εδώ) έπεται ότι η AP είναι η A-συμμετροδιάμεσος του ABC .Άρα το ACPB είναι αρμονικό.Έστω PC=x.Τότε θα είναι 4x=7PB\Leftrightarrow PB=\dfrac{4}{7}PB.Στο ABC θα είναι \cos\angle A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=..=\dfrac{-2}{7}.
Από τον ν.συνημιτόνου στο PBC θα είναι x^2+\dfrac{16}{49}x^2-2\cdot \dfrac{4}{7}x\cdot x=9^2\Leftrightarrow x^2=9^2\overset{x>0}{\Leftrightarrow }x=9


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9363
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ζητείται χορδή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Φεβ 24, 2020 5:55 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Κυρ Φεβ 23, 2020 5:51 pm
george visvikis έγραψε:
Κυρ Φεβ 23, 2020 1:07 pm
Ζητείται χορδή.png
Στο τρίγωνο ABC του σχήματος είναι AB=4, AC=7, BC=9, ενώ η διχοτόμος AD τέμνει τον

περίκυκλο στο E και ο περίκυκλος τον κύκλο διαμέτρου DE στο P. Να υπολογίσετε το μήκος της χορδής CP.
Καλησπέρα!

Από γνωστή πρόταση (π.χ δείτε στο 2.6 εδώ) έπεται ότι η AP είναι η A-συμμετροδιάμεσος του ABC .Άρα το ACPB είναι αρμονικό.Έστω PC=x.Τότε θα είναι 4x=7PB\Leftrightarrow PB=\dfrac{4}{7}PB.Στο ABC θα είναι \cos\angle A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=..=\dfrac{-2}{7}.
Από τον ν.συνημιτόνου στο PBC θα είναι x^2+\dfrac{16}{49}x^2-2\cdot \dfrac{4}{7}x\cdot x=9^2\Leftrightarrow x^2=9^2\overset{x>0}{\Leftrightarrow }x=9
Για μία ακόμη φορά άψογος! :10sta10: Δεν είναι μόνο ότι αφομοιώνεις και αποθηκεύεις

γνώσεις, αλλά είναι ο τρόπος που τις διαχειρίζεσαι και τις αναπαράγεις!


abgd
Δημοσιεύσεις: 183
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Ζητείται χορδή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Τρί Φεβ 25, 2020 8:42 pm

Χορδή 1.png
Χορδή 1.png (71.24 KiB) Προβλήθηκε 148 φορές
Μια απόδειξη με στοιχειώδεις προτάσεις:

Δείχνουμε πρώτα ότι το σημείο τομής του κύκλου με διάμετρο την DE και της BC είναι το μέσο Μ της BC.
Αυτό συμβαίνει γιατί EM\perp MD και το τρίγωνο BEC είναι ισοσκελές αφού οι γωνίες της BC είναι ίσες.

Κατόπιν με τη βοήθεια των εγγράψιμων τετράπλευρων δείχνουμε ότι οι γωνίες EDN, \ \ EDM είναι ίσες μεταξύ τους οπότε: τα ορθογώνια τρίγωνα EDN, \ \ EDM είναι ίσα μεταξύ τους και συνεπώς τα τρίγωνα EAN, \ \ EAM είναι ίσα.
Έτσι οι γωνίες EAN, \ \ EAM είναι ίσες.

Τέλος δείχνουμε ότι τα τρίγωνα AMC, \ \ CMP είναι όμοια. Από την ομοιότητα αυτή προκύπτει ότι:

\frac{MC}{AM}=\frac{CP}{AC} και έτσι CP=\frac{a\cdot b}{2\cdot \mu_a}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης