Εύκαμπτοι αριθμοί

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Εύκαμπτοι αριθμοί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Πέμ Φεβ 20, 2020 9:00 pm

Στο επίπεδο σχεδιάζουμε άπειρες παράλληλες ευθείες, σε ίσες αποστάσεις μεταξύ τους. Ένας φυσικός αριθμός n \geqslant 3 θα λέγεται εύκαμπτος αν υπάρχει κανονικό n-γωνο τέτοιο, ώστε όλες οι κορυφές του να ανήκουν στις δοσμένες ευθείες και κάθε δοσμένη ευθεία να περιέχει το πολύ μια κορυφή του n-γώνου. Να βρείτε όλους τους εύκαμπτους αριθμούς.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8447
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Εύκαμπτοι αριθμοί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Φεβ 21, 2020 12:23 pm

Θα δείξουμε ότι εύκαμπτοι είναι μόνο οι αριθμοί n=3,4,6. Οι κατασκευές δεν είναι δύσκολες, οπότε προχωράω να δείξω ότι δεν υπάρχουν άλλες. Θα γράφω A_0,A_1,\ldots,A_{n-1} για τις κορυφές του πολυγώνου.

Έστω n=2m+1. Από συμμετρία οι A_0A_{m+1} και A_1A_m είναι παράλληλες. Έστω A_0' το σημείο τομής της ευθείας που περνάει από το A_0 με την A_nA_{n+1}. Ορίζω A_1' ανάλογα.

Τα τρίγωνα A_0A_0'A_{m+1} και A_1A_1'A_m είναι όμοια οπότε

\displaystyle \frac{A_mA_1'}{A_{m+1}A_0'} = \frac{A_mA_1}{A_{m+1}A_0} = \frac{2R\sin\left( \frac{\pi (m-1)}{2m+1}\right)}{2R\sin\left( \frac{\pi m}{2m+1}\right)} = \frac{\cos\left(3\vartheta\right)}{\cos\left(\vartheta\right)} = 4\cos^2{\vartheta}-3 = 2\cos(2\vartheta)-1

όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του πολυγώνου και \vartheta = \frac{\pi m}{4m+2}.

Αν όμως d η απόσταση μεταξύ διαδοχικών παράλληλων ευθειών τότε τα A_mA_1' και A_{m+1}A_0' είναι πολλαπλάσια του d, οπότε καταλήγουμε ότι ο αριθμός \cos(\frac{\pi m}{2m+1}) είναι ρητός. Από το θεώρημα του Niven, πρέπει m=1, δηλαδή n=3.

Αν n=2m, με m \geqslant 3 εργαζόμαστε με παρόμοιο τρόπο:

Οι A_0A_{1} και A_1A_{m-1} είναι παράλληλες. Έστω A_0' το σημείο τομής της ευθείας που περνάει από το A_0 με την A_{m-1}A_{m}. Ορίζω A_1' ανάλογα. Τότε ο

\displaystyle \frac{A_{m-1}A_1'}{A_{m}A_0'} = \frac{A_{m-1}A_1}{A_{m}A_0} = \frac{2R\sin\left( \frac{\pi (m-2)}{2m}\right)}{2R} = \cos\left( \frac{\pi}{m}\right)

είναι ρητός και παίρνουμε m=3, δηλαδή n=6.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης