Η άσκηση της "ημέρας"

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11634
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Η άσκηση της "ημέρας"

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Φεβ 19, 2020 1:11 pm

Η  άσκηση  της _ημέρας_.png
Η άσκηση της _ημέρας_.png (17.71 KiB) Προβλήθηκε 260 φορές
Οι κύκλοι (O,R) και (K,r) εφάπτονται στα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος AB=a και τέμνονται

στα σημεία T,S . Φέρω : CTD \parallel AB . Η AT τέμνει τον (K) στο N και η BT τον (O) στο L .

Οι χορδές AL,CS του (O) , τέμνονται στο σημείο P και οι BN,SD του K , στο Q .

α) Υπολογίστε το τμήμα CD ... β) Δείξτε ότι : PQ\parallel AB ... γ) Δείξτε ότι : \widehat{APS}+\widehat{BQS}=180^0

δ) Αν επιπλέον δίνεται ότι : a=6 , R=4 , r=3 , υπολογίστε την γωνία : \widehat{CSD} .

Συμπλήρωση , μια "ημέρα" μετά : Απαντήστε σε όποιο ερώτημα σας φαίνεται προσιτό !



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4008
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Η άσκηση της "ημέρας"

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Φεβ 25, 2020 5:44 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 19, 2020 1:11 pm
Η άσκηση της _ημέρας_.png Οι κύκλοι (O,R) και (K,r) εφάπτονται στα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος AB=a και τέμνονται

στα σημεία T,S . Φέρω : CTD \parallel AB . Η AT τέμνει τον (K) στο N και η BT τον (O) στο L .

Οι χορδές AL,CS του (O) , τέμνονται στο σημείο P και οι BN,SD του K , στο Q .

α) Υπολογίστε το τμήμα CD ... β) Δείξτε ότι : PQ\parallel AB ... γ) Δείξτε ότι : \widehat{APS}+\widehat{BQS}=180^0

δ) Αν επιπλέον δίνεται ότι : a=6 , R=4 , r=3 , υπολογίστε την γωνία : \widehat{CSD} .

Συμπλήρωση , μια "ημέρα" μετά : Απαντήστε σε όποιο ερώτημα σας φαίνεται προσιτό !
α) Προφανώς …CD=2a

β) Το σημείο S είναι προφανώς το σημείο Miquel του πλήρους τετραπλευρου ATBELN όπου E\equiv LA\cap NB και συνεπώς τα τετράπλευρα SLEB,SNEA είναι εγγράψιμα σε κύκλους. Έστω F το σημείο τομής (εκτός του S) του περίκυκλου του τριγώνου \vartriangle SAB με την SE . Τότε από το εφαπτόμενο τμήμα AB στους κύκλους \left( O \right),\left( K \right) προκύπτει ότι: \angle ASB=\angle AST+\angle BST=\angle TAB+\angle TBA=
\angle NTB=\angle LTA=\angle ABE=\angle BAE (υπό χορδής και εφαπτομένης …) και συνεπώς οι EB,EA είναι εφαπτόμενες στον περίκυκλο του τριγώνου \vartriangle SAB οπότε \angle FBE=\angle FSB\equiv \angle ESB\overset{L,S,B,E\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle BLE\equiv \angle TLA

=\angle TAB\overset{TD\parallel AB}{\mathop{=}}\,\angle NAD=\angle NBD\overset{N,B,E\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \upsilon \theta \varepsilon \iota \alpha \kappa \alpha }{\mathop{\Rightarrow }}\, D,B,F συνευθειακά και ομοίως C,A,F συνευθειακά

Έτσι με CP\cap QD\equiv S,PA\cap QB\equiv E,CA\cap DB\equiv F συνευθειακά προκύπτει σύμφωνα με το Θεώρημα του Desargues ότι τα τρίγωνα \vartriangle CPA,\vartriangle DQBείναι προοπτικά και συνεπώς οι ευθείες που συνδέουν τις ομόλογες κορυφές τους διέρχονται από το ίδιο σημείο (έστω Z ), δηλαδή PQ\cap CD\cap AB\equiv Z και με CD\parallel AB\Rightarrow Z\equiv {{Z}_{\infty }} άρα και PQ\parallel CD\parallel AB και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Η άσκηση της ημέρας.png
Η άσκηση της ημέρας.png (65.57 KiB) Προβλήθηκε 136 φορές
γ) Είναι \angle SPQ\overset{PQ\parallel CD}{\mathop{=}}\,\angle SCD\equiv \angle SCT\equiv \angle TLS\equiv
\angle BLS=\angle SEB\equiv \angle SEQ\Rightarrow S,P,E,Q ομοκυκλικά και συνεπώς \angle APS+\angle BQS=\angle EPS+\angle EQS={{180}^{0}} και το γ) ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

δ) \angle SOC=2\cdot \left( \angle CLS \right)=2\cdot \left( \angle SAF \right)=2\cdot \left( \angle SBD \right)=\angle SKD και συνεπώς τα ισοσκελή (λόγω των ακτινών ) τρίγωνα \vartriangle OCS,\vartriangle KDS είναι όμοια οπότε \angle OSC=\angle KSD\Rightarrow \angle CSD=\angle OSK:\left( 1 \right)
Αν M είναι η ορθή προβολή του K στην OA τότε από το ορθογώνιο KMAB\left( KM=AB=a=6 \right) και το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο \vartriangle OMK\Rightarrow O{{K}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( R-r \right)}^{2}}=...37
Τέλος από τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο \vartriangle SOK\Rightarrow \cos \left( CSD \right)\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{=}}\,\cos \left( OSK \right)=
\dfrac{{{R}^{2}}+{{r}^{2}}-O{{K}^{2}}}{2Rr}=\ldots -\dfrac{1}{2}\Rightarrow \ldots \angle CSD={{120}^{0}} και το δ) ζητούμενο έχει υπολογιστεί

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης