Η τύχη του θεματοδότη

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11634
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Η τύχη του θεματοδότη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Φεβ 12, 2020 10:12 pm

Η  τύχη του θεματοδότη.png
Η τύχη του θεματοδότη.png (19.75 KiB) Προβλήθηκε 213 φορές
Σε κύκλο (O,r) είναι εγγεγραμμένο το ισοσκελές τρίγωνο ABC , ( AB=AC ) . Στο μικρό

τόξο \overset{\frown}{AB} , κινείται σημείο S . Φέρουμε : AT  \perp SC . α) Δείξτε ότι : BS+ST=CT

β) Αν r=4 και ύψος AD=7,5 , υπολογίστε την μέγιστη τιμή του γινομένου SB\cdot ST .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7207
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Η τύχη του θεματοδότη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Φεβ 12, 2020 11:48 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 12, 2020 10:12 pm
Η τύχη του θεματοδότη.pngΣε κύκλο (O,r) είναι εγγεγραμμένο το ισοσκελές τρίγωνο ABC , ( AB=AC ) . Στο μικρό

τόξο \overset{\frown}{AB} , κινείται σημείο S . Φέρουμε : AT  \perp SC . α) Δείξτε ότι : BS+ST=CT

β) Αν r=4 και ύψος AD=7,5 , υπολογίστε την μέγιστη τιμή του γινομένου SB\cdot ST .
Η τύχη του θεματοδότη_a.png
Η τύχη του θεματοδότη_a.png (31.16 KiB) Προβλήθηκε 177 φορές


α) Αν E το συμμετρικό του S ως προς το T , τα ισοσκελή τρίγωνα ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ASE έχουν: \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} και άρα είναι ισογώνια οπότε :

\widehat {{\theta _1}} + \widehat {{\xi _{}}} = \widehat {{\theta _2}} + \widehat {{\xi _{}}} \Leftrightarrow \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}.

Έτσι εύκολα έχουμε ότι \vartriangle AEC = \vartriangle ASB \Rightarrow SB = EC \Rightarrow SB + ST = EC + TE = TC.

Μεταβλητό στην περίπτωση είναι το σημείο S .

Επειδή από την ομοιότητα των τριγώνων ABC ( σταθερό ) και ASE (μεταβλητό) έχω:
Η τύχη του θεματοδότη_b.png
Η τύχη του θεματοδότη_b.png (35.86 KiB) Προβλήθηκε 157 φορές
\boxed{\frac{{2ST}}{{BC}} = \frac{{AS}}{{AB}} \Rightarrow ST = \frac{{AS \cdot BC}}{{2AB}} \Rightarrow ST \cdot SB = \frac{{BC}}{{2AB}}AS \cdot SB = \frac{{BC}}{{2AB}}2rd = \frac{a}{b}rd} .

Όπου d η απόσταση του S από τη σταθερή AB(ή του E από την AC ) που γίνεται

μέγιστη αν το S ταυτιστεί με το μέσο του τόξου στο οποίο κινείται.

Ειδικά αν \boxed{r = 4\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{h_a} = h = \frac{{15}}{2}} υπολογίζονται :


\left\{ \begin{gathered} 
  BC = a = 2\sqrt {h\left( {2r - h} \right)}  = \sqrt {15}  \hfill \\ 
  b = \sqrt {2rh}  = 2\sqrt {15}  \hfill \\ 
  ST \cdot SB = \frac{a}{b}rd = 2d \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Αλλά η απόσταση του κέντρου από την AC είναι: \sqrt {{4^2} - {{\sqrt {15} }^2}}  = 1 \Rightarrow d = 4 - 1 = 3

και άρα \boxed{SB \cdot S{T_{\max }} = 6}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9363
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Η τύχη του θεματοδότη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Φεβ 13, 2020 1:21 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 12, 2020 10:12 pm
Η τύχη του θεματοδότη.pngΣε κύκλο (O,r) είναι εγγεγραμμένο το ισοσκελές τρίγωνο ABC , ( AB=AC ) . Στο μικρό

τόξο \overset{\frown}{AB} , κινείται σημείο S . Φέρουμε : AT  \perp SC . α) Δείξτε ότι : BS+ST=CT

β) Αν r=4 και ύψος AD=7,5 , υπολογίστε την μέγιστη τιμή του γινομένου SB\cdot ST .
α) Πρόκειται για το πρόβλημα της σπασμένης χορδής του Αρχμήδη.
Η τύχη του KARKAR.png
Η τύχη του KARKAR.png (15.34 KiB) Προβλήθηκε 116 φορές
β) Είναι \displaystyle AB \cdot AC = 2r{h_a} \Leftrightarrow {b^2} = 60 \Leftrightarrow b = 2\sqrt {15} και εύκολα \displaystyle a = \sqrt {15}. Θέτω SB=x.

Με νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα ABC, SBC παίρνω διαδοχικά \displaystyle \cos A = \frac{7}{8} και

\displaystyle S{C^2} - \frac{7}{4}xSC + {x^2} - 15 = 0\mathop  \Rightarrow \limits^{SC > x} \displaystyle SC = \frac{{7x + \sqrt {960 - 15{x^2}} }}{8}

\displaystyle SB \cdot ST = xST = x(CT - x) = x(SC - ST - x) \Leftrightarrow xST = \frac{{x(SC - x)}}{2}

Άρα, \boxed{SB \cdot ST = \frac{x}{{16}}\left( {\sqrt {960 - 15{x^2}}  - x} \right)} που παρουσιάζει για \boxed{x=2\sqrt 6} μέγιστο ίσο με

\boxed{{(SB \cdot ST)_{\max }} = 6} (Εύκολα διαπιστώνουμε ότι σε αυτή τη θέση το S είναι μέσο του τόξου \overset\frown {AB}).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης